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Questão 67300

IME

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Um sistema planetário hipotético é composto por uma estrela (S1) e dois planetas com órbitas elípticas de excentricidade tão pequenas que são aproximadas por circunferências no mesmo plano. Seus sentidos de translação são opostos, tal que o Planeta 1 (P1) orbita no sentido horário, enquanto o Planeta 2 (P2) no sentido anti-horário.

P2 possui partículas de óxido de ferro em suspensão na sua atmosfera. Essas partículas absorvem a luz de S1 e irradiam uma luz colorida, cujos fótons possuem energia E. O povo de P1 é bastante desenvolvido tecnologicamente e decide lançar uma espaçonave, tangencialmente a sua própria órbita, para visitar P2. Para isso, de forma que chegue ao ponto futuro de P2, mantém uma trajetória retilínea, conforme mostra a figura.

Dados:

• Planeta 1: distância orbital R₁ ; velocidade orbital escalar v₁ = 60√ 2 km/s;

• Planeta 2: distância orbital R₂ = 2 x R₁ ;

• energia dos fótons: E = 3,125 × 10⁻¹⁹ J;

• espaçonave: gera uma aceleração, a partir de P1 , de a_e = 180√ 2 m/s² , durante 6,4 horas. Depois disso, mantem velocidade constante até se aproximar de P2;

• velocidade da luz no vácuo: c = 3 × 10⁵ km/s; e

• constante de Planck: h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s.

Diante do exposto, determine:

a) a velocidade orbital escalar de P2 (v₂), em km/s;

b) a cor da luz emitida por P2, observada de P1, quando ambos os planetas estiverem alinhados com S1 (use a tabela e desconsidere a possibilidade de eclipse); e

c) a cor da luz de P2, observada da espaçonave, quando estiver proxima de P2

Gabarito:

Resolução:

a) Considerando uma órbita circular temos:

$F_{g}=F_{cp} herefore frac{mv^{2}}{R}=frac{GMm}{R^{2}}=v=sqrt{frac{GM}{R}}$

Ou seja: $v_{1}sqrt{R_{1}}=v_{2}sqrt{R_{2}}=sqrt{GM}=$ constante

$60sqrt{2}.sqrt{R_{1}}=v_{2}.sqrt{2R_{1}}=$

v₂= 60 Km/s

B) Se os planetas estão alinhados com a estrela, suas velocidades são paralelas, não havendo aproximação ou afastamento entre fonte e observador, não havendo Doppler, portanto.

Equação de Planck:

$E_{foton} = h cdot f = frac{hc}{lambda}$

$lambda =frac{h.c}{E_{foton}}=frac{6,63.10^{-34}.3.10^{8}}{3,125.10^{-19}}=6,36.80^{-7}.m$

$lambda =636nm$

Cor vermelha, pela tabela

c) Cálculo da velocidade com que a nave se aproxima de P₂:

$MRUV=v=v_{0}+at$

$v=60 cdot 10^{3} cdot sqrt{2}+180sqrt{2} cdot 6,4 cdot 3600=5,94988 cdot10^{6}m/s$

$eta =frac{v}{c}=frac{5,94988.10^{6}}{3 cdot 10^8} =0,01983$

Devido ao Doppler relativístico, temos:

$frac{lambda _{0}}{lambda }=sqrt{frac{1+ eta}{1- eta}}=lambda =frac{636}{1,020}=623,5nm$

Cor laranja, pela tabela.

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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