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Questão 57724

ITA

(ITA - 2021 - 1ª FASE)

O sistema de unidades atômicas de Hartree é bastante útil para a descrição de sistemas quânticos microscópicos. Nele, faz-se com que a carga fundamental e, e a massa do elétron m₀, a constante eletrostática do vácuo K₀ e a constante de Planck reduzida h sejam todas numericamente iguais à unidade. Assinale a alternativa que contém a ordem de grandeza do valor numérico da velocidade da luz no vácuo c, nesse sistema de unidades.

Valores para as contantes:
Constante de Planck reduzida h=1,05x10^-34J.s
Constante eletrostática do vácuo K₀=9,0x10⁹ N.m².C^-2
Velocidade da luz no vácuo c=3,0x10⁸ m/s
Carga elementar e = 1,6*10^-19 C

10⁰

10²

10⁴

10⁶

10⁸

Gabarito:

10²

Resolução:

Resolução 1:

Vamos analisar as dimensões das grandezas mencionadas no enunciado e buscar alguma relação com a unidade da velocidade.

[e] = C.

[m] = kg.

$[hbar] = N.m.s$ , lembrando que 1 J = 1 N.m

[K] = N.m².C^-2.

[c] = m.s^-1.

Poderíamos obter a velocidade da luz relacionando as grandezas citadas:

$c = z cdot e^{A} cdot m^{B} cdot K^{C} cdot h^{D}$ , com z sendo uma constante admensional.

Da relação entre as unidades obtemos:

$B = 0$ , já que não há a unidade de massa envolvida.

$A-2C = 0$ , já que não há a unidade de carga envolvida.

$D = -1$ , já que do lado esquerdo da expressão temos s^-1.

Podemos inferir, então, que C = 1, já que $C+D = 0$ para que não tenhamos a influência da unidade Newton.

Portanto, A = 2; B=0; C = 1 e D = -1.

Sendo assim, $c = frac{z cdot Ke^{2}}{hbar}$ . Essa relação deve ser válida em qualquer sistema de unidades.

No sistema Hartree, K, ℏ e e tem valor numérico igual a 1.

Portanto, a velocidade da luz nesse sistema de unidades terá valor numérico igual a z.

No sistema internacional:

$3 cdot 10^{8} = frac{z cdot 9 cdot 10^{9} cdot (1,6 cdot 10^{-19})^{2}}{1,05 cdot 10^{-34}}$

$1,05 cdot 10^{8} = cdot 3 cdot 2,56 cdot 10^{5}$

$z = frac{1,05 cdot 10^{3}}{7,68}$

$z approx 137$

Como já discutimos, o valor numérico da velocidade da luz no sistema é igual ao valor numérico de z, portanto a ordem de grandeza da velocidade da luz nesse sistema é 10².

Resolução 2:

Constante de estrutura fina: $alpha = frac{e^2}{4piepsilon_0chbar} = frac{Ke^2}{chbar} approx frac{1}{137}$ .

Essa constante é admensional, e seu valor deve ser o mesmo em qualquer sistema de medidas.

Portanto, no sistema Hartree, em que 'K', 'e' e a constante de planck reduzida tem valor numérico igual a 1, a velocidade da luz tem valor numérico igual a 137. Logo, a sua ordem de grandeza é 10².

Note que a constante de estrutura fina é justamente 1/z, em que z é o valor obtido na primeira resolução. Essa constante é uma das constantes físicas admensionais obtidas quando se tentou analisar o eletromagnetismo do ponto de vista da física quântica.

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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