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Questão 57726

ITA

(ITA - 2021 - 1ª FASE)

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações:

I. $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.$

II. A comuta com qualquer matriz simétrica.

III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica.

IV. det (AB) = 0.

É(são) VERDADEIRA(S):

nenhuma

apenas I

apenas III.

apenas IV.

apenas II e IV.

Gabarito:

apenas IV.

Resolução:

l. Falsa, o produto na verdade é igual a $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}.$ , uma vez que $AB; eq;BA$

Tomemos por exemplo uma matriz simétrica $A=egin{bmatrix} 0 & 2&1 \ 2 &1 & 2\ -1& 2 &1 end{bmatrix}$ e uma matriz antisimetrica $B=egin{bmatrix} 0 & -3&1 \ 3 &0 & 4\ -1& -4 &0 end{bmatrix}$ temos que $AB=egin{bmatrix} 5 & -4&8 \ 1 &-14 & 6\ 5& -1 &7 end{bmatrix}$ e $BA=egin{bmatrix} -7 & -1&-5 \ -4 &14 & 7\ -8& -6 &-9 end{bmatrix}$

ll. Falso. Vamos utilizar um exemplo para provar.
Tomemos por exemplos as matrizes simétricas $A=egin{bmatrix} 0 & 2&1 \ 2 &1 & 2\ -1& 2 &1 end{bmatrix}$ e $C=egin{bmatrix} 0 & -3&1 \-3 &2 & 7\ -1& 7 &2 end{bmatrix}$ , , então $AC=egin{bmatrix} -7 & 11&16 \-5 &10 & 13\ -7& 14 &15 end{bmatrix}$ e $CA=egin{bmatrix} -7 & -1&-5 \-3 &10 & 8\ 12& 9 &15 end{bmatrix}$ , logo $AC; eq;CA$

lll.Falso. Vamos provar utilizando um contra exemplo, considere as duas matrizes antisimetricas:

$B=egin{bmatrix} 0 & -3&1 \ 3 &0 & 4\ -1& -4 &0 end{bmatrix}$ e $D=egin{bmatrix} 0 & -6&-2 \ 6 &0 & 3\ 2& -3 &0 end{bmatrix}$ , então,
$BD=egin{bmatrix} -16 & 3&-9 \ 8 &-6 & -6\ -24& 6 &-10 end{bmatrix}$ e $DB=egin{bmatrix} -16 & 8&-24 \ -3 &-30 & 6\ 9& -6 &14 end{bmatrix}$ , logo $BD; eq;DB$

lV. Se considerarmos A e B de ordens iguais, para que a multiplicação seja possível, a afirmação está correta.

Veja que B é antissimétrica de ordem ímpar. Assim, B^t = -B.

Dessa forma, sabendo que det(B) = det(B^t).

Teremos: det(B) = (-1)^(2k+1)det(B), com k inteiro.

Logo, det(B) = -det(B). Inferi-se que det(B) = 0.

Dessa forma, det(AB) = 0.

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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