GuruGuia

Questão 58803

ITA

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Dois feixes de comprimento de onda $lambda$ , paralelos e de intensidade $I_{0}$ , incidem com inclinação $heta=60^{o}$ com a vertical sobre dois espelhos horizontais, conforme ilustra a figura. O espelho superior encontra-se fixo enquanto o inferior, de massa $m$ , está ligado a uma mola de constante elástica $k$ e realiza um movimento oscilatório de pequena amplitude. O espelho inferior é liberado para oscilar em $t=0 mu s$ , a partir do repouso e da posição na qual a mola está relaxada. Os feixes são refletidos pelos espelhos e analisados em um detector, que registra a intensidade da onda resultante da superposição dos feixes. Os resultados coletados são mostrados no gráfico a seguir. Com base nas informações fornecidas, determine o maior valor possível de $lambda$ .

Gabarito:

Resolução:

Sendo A a amplitude do movimento do espelho e mola.

Em t₁:

Então:

$K cdot X_o = m cdot g$

$X_o = frac{m cdot g}{K}$

Em t₂

Ponto mais baixo do espelho:

$F_R = k cdot (A + X_o) - m cdot g = KA + K cdot X_o - m cdot g = KA$

Conservando a energia entre t_o e t₂:

$E_o + U_o = E_2 + U_2$

como a velocidade é nula em t_o e t₂, então:

$U_o = U_2$

$U_o = mgh$

$U_2 = mg (h - (X_o + A)) + frac{K}{2} cdot (X_o + A)^2$

$mgh = mgh - mg (X_o + A) + frac{K}{2} cdot (X_o + A)^2$

$frac{K}{2} cdot (X_o + A)^2 = mg(X_o + A)$

$frac{K}{2} cdot (X_o + A) = mg$

Como:

$X_o = frac{mg}{K}$

Substituindo:

$KA + K cdot X_o = 2mg$

$KA + K cdot frac{mg}{K} = 2mg$

$KA + mg = 2mg$

$KA = mg$

$A = frac{mg}{K}$ (equação I)

Por I percebe-se que X_o = A. Então, o espelho de massa m oscila entre as posições de t_o e t₂.

A menor altura do espelho é:

$h - (A + X_o) = h - (A +A) = h - 2A$

Pelo gráfico:

percebe-se que a maior intensidade é para quando o espelho está na altura máxima, h.

A menor intensidade é para quando o espelho está na altura mínima, h - 2A, a fim de que a interferência seja destrutiva.

Na posição relaxada, a diferença de caminho ótico é:

$Delta X_o = m lambda$

Pela Lei de Bragg, $Delta X_o = m lambda=2cdot dcdot cos heta$ , onde $d$ é a distância entre o espelho de baixo em sua posição mais alta (com mola relaxada) e o espelho de cima.

Na posição de menor altura, que possui interferência destrutiva:

$Delta X_2 = (m + frac{1}{2}) cdot lambda = 2cdot Dcdot cos heta$ , onde $D$ é a distância entre o espelho de baixo na posição mais baixa e o espelho de cima.

É possível ver que $D=d+2cdot A$ pelo desenho abaixo:

Como:

$Delta X_2 - Delta X_o = 2 cos hetaleft(D-d ight )$

$Delta X_2 - Delta X_o = 2 cos hetaleft(2cdot A ight )$

e como:

$Delta X_2 - Delta X_o = left(m+frac{1}{2} ight )lambda-mcdotlambda=frac{lambda}{2}$

Então:

$2cos hetaleft(2cdot A ight )=frac{lambda}{2}Rightarrow lambda=8Acdot cos heta$ , como $cos heta=cosleft(60^{circ} ight )=frac{1}{2}$ , então $lambda=4A$

Já que $A = frac{mg}{K}$ , então

$lambda = frac{4mg}{K}$ .

Observando a figura do gráfico da intensidade pelo tempo do enunciado, podemos ver que o período deste movimento é igual a $2mu s$ e como a fórmula do período do MHS da massa mola é dado por:

$T=2pisqrt{frac{K}{m}}=2mu sRightarrow sqrt{frac{K}{m}}=frac{1}{pi}mu sRightarrow frac{K}{m}=frac{1}{pi^2}mu^2 s^2$

Substituindo esse resultado acima em $lambda = frac{4mg}{K}$ , obtemos:

$lambda = 4gcdotfrac{m}{K}=4cdotfrac{g}{pi^2}mu^2 s^2$ , fazendo a aproximação de $gapproxpi^2$ e considerando que as unidades da gravidade é m/s²:

$lambda =4cdotfrac{g}{pi^2}mu^2 s^2=4mu^2 m=4cdot10^{-12}m$ .

Segunda Solução:

Da equação do período de uma mola temos que:

$T = 2pi frac{m}{k} Rightarrow frac{m}{k} = frac{(2 cdot 10^{-6})^{2}}{4pi^{2}} = frac{10^{-12}}{pi^{2}} Rightarrow frac{m}{k} approx 10^{-13}$

Sendo d₀a distÂncia inicial entre os espelhos, temos para a mola totalmente distendida:

$mlambda = 2d_{0}cos60^{circ} Rightarrow mlambda = d_{0}$

Quando a mola está totalmente comprimida:

$(m + frac{1}{2})lambda = 2(d_{0}+2A)cos 60^{circ} Rightarrow mlambda + frac{lambda}{2} = d_{0} + 2A$

Subtraindo a segunda equação da primeira:

$frac{lambda}{2} = 2A$

$A = frac{lambda}{4}$

Da condição de equilíbrio:

$mg = kA$

$A = frac{mg}{k}$

Como sabemos que A é igual a A, podemos igualar:

$frac{lambda }{4} = frac{mg}{k}$

$lambda = 4cdot 10^{-13} cdot 10$

$lambda = 4 cdot 10^{-12} m$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Ver questão

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Ver questão

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Ver questão

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

Ver questão