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Questão 58745

ITA

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

Sejam $alpha,eta,gamma epsilon mathbb{R}$ tais que $alpha+eta+gamma=-3pi$ , $sen alpha+sen eta+sen gamma=frac{1}{2}$ e $cos alpha+cos eta+cos gamma=-frac{1}{2}$ .
Determine o valor de $cos^{2} alpha+cos^{2} eta+cos^{2} gamma$ .

Gabarito:

Resolução:

$(cosalpha+coseta+cosgamma)^{2}=(-frac{1}{2})^{2}$

$cos^{2}alpha+cos^{2}eta+cos^{2}gamma+2cosalpha.coseta+2cosalpha.cosgamma+2coseta.cosgamma=frac{1}{4} (I)$

$(senalpha+seneta+sengamma)^{2}=(frac{1}{2})^{2} ightarrow$

$sen^{2}alpha+sen^{2}eta+sen^{2}gamma+2senalpha.seneta+2seneta.sengamma+2senalpha.sengamma=frac{1}{4} (II)$

Subtraindo $I$ com $II$ :

$cos^{2}alpha-sen^{2}alpha+cos^{2}eta-sen^{2}eta+cos^{2}gamma-sen^{2}gamma+2(cosalpha.coseta-senalpha.seneta)+2.(coseta.cosgamma-seneta.sengamma)+2.(cosalpha.cosgamma-senalpha.sengamma)=frac{1}{4}-frac{1}{4}=0$

$ightarrow cos2alpha+cos2eta+cos2gamma+2.(cos(alpha+eta)+cos(eta+gamma)+cos(alpha+gamma))=0$

Fazendo:

$alpha+eta=-3pi-gamma ightarrow cos(alpha+eta)=cos(-3pi-gamma)=cos(-3pi)cos(-gamma)=-cosgamma$

$alpha+gamma=-3pi-eta ightarrow cos(alpha+gamma)=cos(-3pi-eta)=cos(-3pi)cos(-eta)=-coseta$

$gamma+eta=-3pi-alpha ightarrow cos(gamma+eta)=cos(-3pi-alpha)=cos(-3pi)cos(-alpha)=-cosalpha$

Logo:

$2.(cos(alpha+eta)+cos(alpha+gamma)+cos(gamma+eta))=$

$=2.(-cosalpha-coseta-cosgamma)=$

$=-2.(cosalpha+coseta+cosgamma)$ .

Considerando o que descobrimos:

$2.(cos(alpha+eta)+cos(alpha+gamma)+cos(gamma+eta))=-2(cosalpha+coseta+cosgamma)$

A equação:

$cos2alpha+cos2eta+cos2gamma+2.(cos(alpha+eta)+cos(eta+gamma)+cos(alpha+gamma))=0$

Fica:

$cos2alpha+cos2eta+cos2gamma-2cosalpha-2coseta-2cosgamma=0$

Porém, quem é $cosalpha+coseta+cosgamma$ ? é $-frac{1}{2}$ , logo:

$cos2alpha+cos2eta+cos2gamma-2.(cosalpha+coseta+cosgamma)=0$

Fica:

$2cos^{2}alpha-1+2cos^{2}eta-1+2cos^{2}gamma-1-2.(-frac{1}{2})=0$

Assim:

$2.(cos^{2}alpha+cos^{2}eta+cos^{2}gamma)-3+1=0$

Então chegamos à:

$cos^{2}alpha+cos^{2}eta+cos^{2}gamma=1$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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