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Questão 76043

ITA

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Considere a hipérbole $H$ de equação $x^{2}-frac{y^{2}}{4} = 1$ . Seja $T$ um triângulo de vértices $P, F_{1}, F_{2}$ , onde $F_{1}$ e $F_{2}$ são os focos de $H$ e $F$ um ponto em $H$ . Sabendo que o perímetro de $T$ é $5sqrt {5}$ , o produto da medida dos lados de $T$ é

$frac{41sqrt {5}}{2}.$

$frac{41}{4}.$

$frac{41sqrt {5}}{4}.$

$frac{41}{8}.$

$frac{41sqrt {5}}{8}.$

Gabarito:

$frac{41sqrt {5}}{2}.$

Resolução:

Pela equação da hipérbole, temos: $frac{x^2}{1}-frac{y^2}{4}=1$ , logo, $a=1$ , $b=2$ e $c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{1+4}=sqrt5$

A questão dá como dado o perímetro do triângulo, logo, $PF1+PF2+2c=5sqrt5Rightarrow PF1+PF2=3sqrt5$ (*)

Porém, por definição da hipérbole, temos que $PF1-PF2=2.a=2.1=2$ (**)

Temos, portanto:

$PF1=2+PF2$ por (**), substituindo em (*):

$PF2=frac{3sqrt5}{2}-1$ e $PF1=frac{3sqrt5}{2}+1$ .

Logo, o produto dos lados se dá por $(frac{3sqrt5}{2}+1).(frac{3sqrt5}{2}-1).2sqrt5=2sqrt5.(frac{41}{4})=frac{41sqrt{5}}{2}$ .

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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