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Questão 76400

ITA

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Um bloco cúbico de aresta l = 4,5 cm desliza, sob o efeito da gravidade, sobre um plano inclinado de ângulo $alpha = 60^{circ}$ relativamente à horizontal. O deslizamento acontece com as normais de duas de suas faces sempre paralelas à direção do movimento. Para estudar o movimento, um observador usa uma máquina fotográfica que captura em uma mesma imagem a posição do bloco em instantes diferentes. Para isso, a câmera é programada para abrir e fechar o diafragma periodicamente, a cada intervalo de tempo $Delta t = 0,2 s$ . O tempo de exposição $varrho t$ , isto é, o tempo em que o diafragma permanece aberto, é tal que $varrho t < Delta t$ . O disparo da câmera é sincronizado com o movimento, de modo que a primeira exposição acontece no instante em que o bloco é solto. A foto registra quatro pontos, que correspondem à posição do objeto em diferentes instantes. O experimentador extrai da foto a distância entre pontos adjacentes, $Delta x_{n} = x_{n }-x_{n-1}$ , com n = 1, 2 e 3.

Considere que a foto capta o perfil lateral do plano inclinado sem distorrções ópticas ou efeitos de paralaxe. Em seguida, faça o que se pede:

a) se $Delta x_{3} = 0,75 m$ , determine os valores de $Delta x_{2}$ , $Delta x_{1}$ e o deslocamento total do bloco;

b) estime o valor do coeficiente de atrito cinético entre a superfície do bloco e do plano inclinado;

c) considere agora que $varrho t$ ainda é pequeno, mas seu efeito já não é mais desprezível. Determine o valor de $varrho t$ para que, na quarta captura, a imagem seja um retângulo de dimensões l por 2l.

Gabarito:

Resolução:

A) No MUV: $frac{Delta x_n}{2n-1}=cte, ; forall n in mathbb{N}$ . Logo:

$frac{Delta x_1}{1}=frac{Delta x_2}{3}=frac{Delta x_3}{5}$

$Delta x_2 = Delta x_3 cdot frac{3}{5}= 0,45 ;m$

$Delta x_1 = Delta x_3 cdot frac{1}{5}= 0,15 ;m$

Deslocamento total:

$D=Delta x_1 +Delta x_2 +Delta x_3$

$D=0,15+0,45+75=1,35 ; m$

B) Vamos montar o diagrama de forças em questão:

Aceleração resultante:

$F_R=Psen(60^circ)-F_{at}$

$mcdot a=mgcdot sen(60^circ)-mg cdot cos(60^circ) mu$

$a=10 cdot left ( frac{sqrt{3}}{2}-frac{mu}{2} ight )$

$a=5 cdot left ( sqrt{3}-mu ight )$

MUV no plano inclinado:

$Delta x_1 = a cdot frac{Delta t_1^2}{2}$

$0,15 = a cdot frac{0,2^2}{2}$

$a=7,5 ; m/s^2$

Substituindo esse valor na equação anterior:

$a=5 cdot left ( sqrt{3}-mu ight )$

$7,5=5(sqrt{3}-mu)$

$sqrt{3}-mu=1,5$

$mu=0,2$

C) Para que possamos ver a imagem final como um retângulo de dimensões $l$ por $2l$ , é necessário que o tempo $delta t$ seja tal que o bloco percorra uma distância $d=l$ . O tempo na 3ª imagem é 0,6 s, que equivale a um deslocamento de 1,35 m. Desse modo:

$Delta d = 1,35 +l=1,35 +0,045=1,395 ; m$

$Delta t = t_3+delta t=0,6 +delta t$

Por fim:

$Delta d=a cdot frac{Delta t^2}{2}$

$2 cdot 1,395 = 7,5 cdot (0,6+delta t)^2$

$(0,6+delta t)^2=0,372$

$0,6+delta t=0,61$

$delta t=0,01 ; s$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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