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Questão 81914

ITA

(ITA - 2024)

Considere duas situações: (i) uma partícula A de massa m e carga q, sob influência de uma campo elétrico constante $overrightarrow{E}= Ewidehat{i}$ é colocada para oscilar pela ação de uma mola de rigidez k e comprimento livre l₀, ao longo do eixo x; (ii) uma segunda partícula, B, é conectada à A, pela mesma mola, na presença de $overrightarrow{E}$ . A partícula B é neutra e tem massa m.

Desconsiderando efeitos de radiação eletromagnética e de atrito, determine:

a) o período de oscilação do sistema massa-mola na situação (i);

b) a frequência angular $omega$ de oscilação da massa A em relação ao centro de massa na situação (ii);

c) a equação horária de cada partícula em (ii), sabendo que, inicialmente, a massa A está em repouso e passa pela origem do sistema de coordenadas, ao passo que a massa B também está em repouso e se encontra a uma distância l₀de A.

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que

$omega=sqrtfrac{k}{m}$

e também

$omega=frac{2pi}{T}$

Igualando tudo:

$sqrtfrac{k}{m}=frac{2pi}{T} ightarrow T=2picdotsqrtfrac{m}{k}$

b) Encontrando o centro de massa da determinada situação:

$frac{m_Acdot m_B}{m_A + m_B}=frac{m^2}{2m}=frac{m}{2}$

Como temos que a frequência angular é:

$omega=sqrtfrac{k}{m}$

Usando a massa reduzida:

$omega=sqrtfrac{2k}{m}$

c) Temos que na situação ii, teremos uma força externa atuanfo, que é a força elétrica. Podemos expressar:

$F^{ext}=M_{total}cdot a_{CM} ightarrow qcdot E=2mcdot a_{CM}$

$frac{qcdot E}{2m}= a_{CM}$

Para esse valor de aceleração, encontramos a máxima deformação da mola, e com isso podemos encontrar equção horária de cada bloco.

Bloco A:

Nele temos atuantes a força elétrica e a força elástica:

$\qcdot E-kDelta x=mcdot a_{CM}\\ qcdot E-kDelta x=mcdot frac{qcdot E}{2m}\\ qcdot E-kDelta x=frac{qcdot E}{2}\\ Delta x=frac{qcdot E}{2k}$

A amplitude de oscilação é metade da deformação da mola.

Deformação inicial:

$A=frac{l_o}{2}$

Final:

$A=frac{Delta x}{2}=frac{qcdot E}{4k}$

Teremos então, no referencial do centro de massa, que a posição inicial x do bloco A será:

$x_{0_{A}}=frac{qcdot E}{4k}-frac{l_0}{2}$

Para encontrarmos agora a equação horária, basta unirmos a equação da mola com a posição inicial:

$x_{A}=x_{0_{A}}+Acos(omega t+pi)$

Substituindo:

$x_{A}=frac{qcdot E}{4k}-frac{l_0}{2}-frac{qcdot E}{4k}cos(omega t)$

Isso é relação ao centro de massa, porém temos que achar uma solução geral, sendo então em relação a Terra. A equação horária do centro de massa é:

$x_{CM}=x_{0_{CM}}+v_{0_{CM}}+frac{a_{CM}}{2}t^2 ightarrow x_{CM}=frac{l_0}{2}+frac{qcdot E}{4m}t^2$

A equação de A em relação à Terra será:

$\x_A=x_{CM}+x_A ightarrowfrac{qcdot E}{4k}-frac{l_0}{2}-frac{qcdot E}{4k}cos(omega t)+frac{l_0}{2}+frac{qcdot E}{4m}t^2\\x_A= frac{qcdot E}{4k}cdot(1-cos(omega t))+frac{qcdot E}{4m}t^2$

Essa é a equação de A em relação a Terra.

Agora para B. Como as massas são iguais, podemos afirmar que:

$x_{CM} = frac{x_A+x_B}{2} ightarrow x_B=2x_{CM}-x_A$

Fazendo essa relação:

$\x_{B}=l_0+frac{qcdot E}{2m}t^2-frac{qcdot E}{4k}cdot(1-cos(omega t))-frac{qcdot E}{4m}t^2\\ x_B=l_0+frac{qcdot E}{4m}t^2-frac{qcdot E}{4k}cdot(1-cos(omega t))$

E essa é a equação horária de B

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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