GuruGuia

Questão 81912

ITA

(ITA - 2024)

Considere um banco de três pernas, todas de mesmo comprimento, com um assento em formato de disco de raio R e massa m. Este banco está sobre uma superfície horizontal perfeitamente plana e os seus pés tocam o solo em três pontos que correspondem aos vértices de um triângulo equilátero de aresta l. O banco é construído de tal forma que o eixo de simetria do assento intercepta o centro geométrico do triângulo. Uma barra de massa Me comprimento L > 2R é afixada sobre o banco, de modo que uma de suas extremidades permanece junto à borda do assento e a outra ultrapassa os seus limites. A barra passa pelo centro do assento e está orientada na mesma direção que uma das mediatrizes do triângulo equilátero. A figura mostra o banco, com a barra, em vista superior.

Considerando este sistema, responda aos seguintes itens:

a) supondo que o sistema está em condição de equilíbrio, determine a expressão da reação normal do piso sobre o pé do banco que está apoiado no ponto A;

b) determine o intervalo de valores de L para os quais o banco permanece em equilíbrio, mantidos todos os outros parâmetros fixos.

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos analisar geometricamente primeiro.

Temos que as bases do banco formam um triângulo equilátero de lado l. O centro de simetria do banco se localiza no centro geométrico do triângulo, que seria então o baricentro. O centro de simetria da barra está um pouco acima do centro simétrico do banco. Os vértices dos triângulos irão representar as forças normais que estão em jogo. Podemos então fazer o seguinte esquema:

Como o sistema está em equilíbrio, podemos dizer que a soma dos momentos é 0. E para facilitar ainda mais nossa situação, podemos adotar como referencial um ponto alinhado com a normal de B e C ( como o ponto médio de BC ), assim podemos considerar o momento delas nulo.

Sendo assim, podemos expressar como:

$sum Q=0 ightarrow Q_{N_A}+Q_{P_F}+Q_{P_B}=0$

Sabemos que o momento é o produto da força pela distância, podemos então encontrar tais coisas.

A distância de A até o ponto médio de BC podemos calcular por pitágoras:

$l^2=(frac{l}{2})^2+h^2 ightarrow l^2=frac{l^2}{4}+h^2 ightarrow h=frac{lsqrt3}{2}$

A distância do centro de simetria do banco até o ponto médio de BC é igual o baricentro do triângulo ABC. Sabemos que o baricentro está a uma distância de um terço da altura da base, logo a distância dele é:

$hcdot frac{1}{3}=frac{lsqrt3}{6}$

Agora a distância do centro de simetria da barra até o ponto médio de BC é mais complicado, porém podemos ver como o seguinte. A distância do centro de simetria da barra até o ponto médio BC é igual a distância do baricentro menos um espacinho que vemos no desenho. Bom, esse espacinho pode ser descrito como a diferença entre a distância do centro de simetria da barra até a sua extremidade e a distância entre o centro simetria do banco até sua extremidade. A distância do CS do banco até a extremidade é R, e a da barra é L/2. Sendo assim, podemos escrever:

$frac{lsqrt3}{6}-(frac{L}{2}-R)$

Agora podemos montar a expressão. Lembrando que no centro de simetria do banco a força atuante é o peso do banco e no centro de simetria da barra a força atuante é o peso da barra (Pf no desenho) e que as força peso estão em sentido contrário da normal:

$\sum Q=0 ightarrow Q_{N_A}+Q_{P_F}+Q_{P_B}=0\\ N_Acdotfrac{lsqrt3}{2}-mcdot gcdot frac{lsqrt3}{6}-Mcdot gcdot (frac{lsqrt3}{6}-(frac{L}{2}-R))=0$

Agora podemos isolar a força normal Na:

$\N_Acdotfrac{lsqrt3}{2}=mcdot gcdot frac{lsqrt3}{6}+Mcdot gcdot (frac{lsqrt3}{6}-(frac{L}{2}-R)$

Abrindo essa expressão:

$\N_Acdotfrac{lsqrt3}{2}=mcdot gcdot frac{lsqrt3}{6}+Mcdot gcdot frac{lsqrt3}{6}-Mcdot gcdot frac{L}{2}+Mcdot gcdot R$

Passando tudo que multiplica Na para o outro lado e agrupando o que for possível:

$\N_A=frac{(m+M)cdot g}{3}+Mcdot gcdot frac{2R-L}{lsqrt3}$

b) Para que o banco se mantenha em equilíbrio, é necessário que a normal em A seja maior ou igual a 0, caso contrário as demais forças prevalecerão e o banco tomba. Logo:

$frac{(m+M)cdot g}{3}+Mcdot gcdot frac{2R-L}{lsqrt3}geq0$

Vamos então encontrar um expressão simplificada, que nos dê para qual valor de L isso é válido:

$\frac{(m+M)cdot g}{3}geq-Mcdot gcdot frac{2R-L}{lsqrt3}\\ frac{m+M}{3}geq Mcdot frac{L-2R}{lsqrt3} ightarrow (frac{m+M}{3})cdot(frac{lsqrt3}{M})geq L-2R\\ (frac{m+M}{3})cdot(frac{lsqrt3}{M})+2Rgeq L$

Como o enunciado diz L é maior que 2R. Sendo assim, temos que para que o banco não saia da posição de equilíbrio:

$(frac{m+M}{3})cdot(frac{lsqrt3}{M})+2Rgeq L>2R$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Ver questão

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Ver questão

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Ver questão

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

Ver questão