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Questão 81915

ITA

(ITA - 2024)

Um grupo de estudantes estava trabalhando na concepção de termômetro a gás a volume constante, conforme a figura. Com intuito de calibrar o termômetro, os estudantes mediram a pressão do gás, P₀, a 0°C. Em seguida, o bulbo de vidro do termômetro foi posto em contato com uma quantidade de água a 100°C, resultando em uma elevação h da coluna de mercúrio, constituindo assim uma escala de temperatura. Entretanto, notou-se que a altura h, atingida pelo mercúrio, não correspondia, de forma precisa, aos valores calculados inicialmente. Após muitas discussões os estudantes concluíram que a expansão térmica do bulbo foi a causa dessa discrepância.

Dado o exposto e assumindo que a densidade do mercúrio seja dada por $ho$ a aceleração gravitacional por g, responda aos itens abaixo.

a) Assumindo que o gás no interior do bulbo seja ideal, calcule o valor relativo à altura h desconsiderando o efeito de dilatação térmica do bulbo.

b) Sabendo que V₀ é o volume do bulbo à 0°C e que a é o coeficiente de dilatação linear do vidro, calcule qual deve ser a diferença entre o valor medido de h e o valor calculado inicialmente se esta fosse a única causa da discrepância. Despreze as dimensões do orifício de contato entre o bulbo e o capilar.

Gabarito:

Resolução:

a) Da lei geral dos gases:

$frac{P_0V_0}{T_0}=frac{P_1V_1}{T_1}$

O volume será o mesmo, e a pressão podemos encontrar pela relação:

$P_1=P_0+ ho gh$

Lembrando que devemos usar a temperatura em Kelvin, a lei geral fica:

$\frac{P_0}{273,15}=frac{P_0+ ho gh}{373,15}\\ frac{373,15P_0}{273,15}=P_0+ ho gh\\ frac{373,15P_0}{273,15}-P_0= ho gh\\ h=frac{0,36P_0}{ ho g} ou frac{100}{273}cdot frac{P_0}{ ho g}$

b) Considerando a dilatação do bulbo:

$V_1=V_0(1+gamma Delta T)$

Onde gamma é o coeficiente de dilatação volumétrica. Sabemos que o coeficiente de dilatação volumétrica é igual a 3 vezes o coeficiente de dilatação linear, logo:

$V_1=V_0(1+3alphaDelta T)$

A variação de temperatura foi 100K, sendo assim:

$V_1=V_0(1+300alpha)$

Aplicando na lei geral dos gases perfeitos:

$\frac{P_0V_0}{273,15}=frac{P_1V_0(1+300alpha)}{373,15} ightarrow frac{373,15P_0}{273,15}=P_1(1+300alpha) ightarrow frac{1,36P_0}{1+300alpha}=P_1$

Do item anterior, temos que:

$P_1=P_0+ ho gh$

Então:

$\frac{1,36P_0}{1+300alpha}=P_0+ ho gh_0\\ frac{1,36P_0-P_0(1+300alpha)}{1+300alpha}= ho g h_0 \\ frac{P_0cdot (0,36-300alpha)}{1+300alpha}= ho g h_0 \\frac{P_0cdot (0,36-300alpha)}{ ho g(1+300alpha)}=h_0$

A diferença será o valor h medido anteriormente menos h0:

$\Delta h=frac{0,36P_0}{ ho g}-frac{P_0cdot (0,36-300alpha)}{ ho g(1+300alpha)}\\Delta h=frac{P_0}{ ho g}cdot (0,36-frac{0,36-300alpha}{1+300alpha})\\$

E essa é a diferença entre os valores.

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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