Questão 34234

AFA 2007

Matemática

(AFA - 2007 - Adaptada)

Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária (i² = -1 e z $\neq$ i). Determine todos os valores de z, para os quais o seguinte é válido:

$frac{z+i}{1+iz}inmathbb{R}$ .

z = x + iy, sendo x² + y² = 1 e (x, y) $\neq$ (0, 1), x e y $inmathbb{R}$ .

z = x + iy, sendo x = y e (x, y) $\neq$ (0, 1), x e y $inmathbb{R}$ .

z = x + iy, sendo x² + 2xy(x - y) + y² = 4, x e y $inmathbb{R}$ .

z = x + iy, sendo x² + y² = 4 e (x, y) $\neq$ (0, 4), x e y $inmathbb{R}$ .

Gabarito:

z = x + iy, sendo x² + y² = 1 e (x, y) $\neq$ (0, 1), x e y $inmathbb{R}$ .

Resolução:

Das propriedades de números complexos, temos:

$z in mathbb{R} Leftrightarrow z = ar{z}$

Logo, para expressão pedida ser real, basta fazer que:

$frac{z+i}{1+iz} = (overline{frac{z+i}{1+iz}})$

Usando as propriedades de conjugado nos complexos, temos:

$frac{z+i}{1+iz} = frac{ar{z}-i}{1-iar{z}}$

Multiplicando cruzado e lembrando que $zar{{z}} = |z|^2$ segue:

$z -i|z|^2 + i + ar{z} = ar{z} -i +z + i|z|^2$

$herefore |z| = 1$

Que é uma circunferência centrada na origem de raio 1, ou seja

$x^2 + y^2 = 1$

Além de respeita a condição de existencia $1+iz eq 0 Rightarrow (x,y) eq (0,1)$

ALTERNATIVA A

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