Questão 24289

AFA 2018

Física

(AFA - 2018)

Quando necessário, use:

Aceleração da gravidade:
Velocidade da luz no vácuo:
Constante de Planck:
Potencial elétrico no infinito: zero.

Uma partícula é abandonada sobre um plano inclinado, a partir do repouso no ponto A, de altura h, como indicado pela figura (fora de escala). Após descer o plano inclinado, a partícula se move horizontalmente até atingir o ponto B. As forças de resistência ao movimento de A até B são desprezíveis. A partir do ponto B, a partícula então cai, livre da ação de resistência do ar, em um poço de profundidade igual a 3h e diâmetro x. Ela colide com o chão do fundo do poço e sobe, em uma nova trajetória parabólica até atingir o ponto C, o mais alto dessa nova trajetória.

Na colisão com o fundo do poço a partícula perde 50% de sua energia mecânica. Finalmente, do ponto C ao ponto D, a partícula move-se horizontalmente experimentando atrito com a superfície. Após percorrer a distância entre C e D, igual a 3h, a partícula atinge o repouso.

Considerando que os pontos B e C estão na borda do poço, que o coeficiente de atrito dinâmico entre a partícula e o trecho é igual a 0,5 e que durante a colisão com o fundo do poço a partícula não desliza, a razão entre o diâmetro do poço e a altura de onde foi abandonada a partícula, $frac{x}{h}$ vale

Gabarito:

Resolução:

Primeiro vamos analisar a velocidade que a bolinha chega ao ponto B:

$\ frac{mv_B^2}{2}=mghRightarrow v_B^2= 2gh \ v_B=sqrt{2gh}$

Agora devemos analisar que ao colidir com o poço a bolinha perde metade da sua energia total, então vamos calcular essa energia total:

$E_{total em B}=mg.3h +frac{m.v_B ^2}{2}$

Substituindo na formula de cima a velocidade B temos:

$E_{total em B}=mg.3h +frac{m.2gh}{2}Rightarrow 3mgh+mgh=4mgh$

Então a energia depois da colisão fica:

$E_{total dps colisao}= frac{E_{total em B}}{2}=2mgh$

A energia em c por conservação deve ser a mesma depois da colisão ficando:

$mgH+ frac{mv_c^2}{2}=2mgh (I)$

Onde H é altura final que a bolinha ficou

Agora no trecho CD temos que a energia que ele chegou foi totalmente dissipada pelo trabalho da força de atrito lembrando que força de atrito pode ser escrito da seguinte maneira:

$Fat=N. mu$ sendo a normal nesse caso igual ao peso podemos escrever: $Fat=mg. mu$ e lembrando que trabalho vale:

$\ au = F.dRightarrow au=mg mu .3h substituindo o coeficiente temos: \ au=frac{3}{2}mgh$

Então a energia nesse ponto só dependeu da cinética logo essa energia que o atrito dissipou foi só por conta da energia cinética pois a bolinha não mudou de altura, com isso temos:

$\frac{mv_c^2}{2}=frac{3mgh}{2} (II)\ \v_c = sqrt{3gh}$

Substituindo a equação II na I temos:

$mgH+frac{3mgh}{2}=2mghRightarrow H=2h- frac{3h}{2}=frac{h}{2}$

Agora vamos analisar o movimento de queda da particula:

Dividindo o x em A como sendo a distância percorrida pela bolinha antes de colidir e B a distância depois da colisão, sendo Vb a velocidade antes da colisão e Vc a velocidade depois da colisão quando chega no ponto máximo

Então temos que pela cinemática temos:

$\d=v_o . t +frac{at^2}{2} sabendo que a velocidade inicial na vertical e zero:\ d=frac{gt^2}{2}$

$3h= frac{gt_B^2}{2}Rightarrow t_B=sqrt{frac{6h}{g}}$

Olhando a velocidade horizontal temos que:

$A=v_B . t_BRightarrow t_B=frac{A}{v_B}$ substituindo temos que:

$frac{A}{v_B}=sqrt{frac{6h}{g}}Rightarrow A=vb. sqrt{frac{6h}{g}}$

A mesma coisa vamos fazer com a distância B

$frac{h}2{}= frac{gt_C^2}{2}Rightarrow t_C=sqrt{frac{h}{g}}$

Sendo

$B=v_C.t_CRightarrow t_C=frac{B}{v_C}$

Substituindo:

$frac{B}{v_C}=sqrt{frac{h}{g}}Rightarrow B=v_C.sqrt{frac{h}{g}}$

Sendo x= A+B podemos dizer que:

$x=A+BRightarrow x= vb. sqrt{frac{6h}{g}}+v_C.sqrt{frac{h}{g}}$

Agora basta substituir as velocidades vc e vb que a gente já achou :)

$\x= sqrt{2gh}. sqrt{frac{6h}{g}}+sqrt{3gh}.sqrt{frac{h}{g}}Rightarrow x=sqrt{12h^2}+sqrt{3h^2}Rightarrow\ \ x=2hsqrt{3}+hsqrt{3}Rightarrow x=3hsqrt{3}Rightarrow frac{x}{h}=3sqrt{3}$

ALTERNATIVA C

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