Questão 18

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018) Constrói-se um monumento em formato de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos:

Para a formação piramidal os blocos são dispostos em uma sequência de camadas, sendo que na última camada, no topo da pirâmide, haverá um único bloco, como mostra a figura a seguir.

Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do topo à base da pirâmide.

Havendo necessidade de acrescentar uma nova camada de blocos abaixo da base da pirâmide, obedecendo à sequência já estabelecida, serão gastos x blocos nesta camada.

A quantidade total de divisores positivos do número x é igual a

Gabarito:

Resolução:

Nº de cubos na 1^a figura: 1
Nº de cubos na 2^a figura: 5
Nº de cubos na 3^a figura: 9
Nº de cubos na 4^a figura: 13

PA de razão r = 4 e a₁ = 1:

$S_{n} = n cdot (a_{1} +a_{n}) cdot frac{1}{2} Rightarrow S_{n} = [2a_{1}+(n-1) cdot r] cdot (frac{n}{2})$

$378 = ( 2cdot 1 + 4n - 4)(frac{n}{2}) Rightarrow 378 = 2n^{2} - n Rightarrow n = 14$

Daí,

$a_{n} = a_{1} +(n-1)cdot r Rightarrow a_{n} = a_{14} = 1+13 cdot 4 = 53$

A nova camada terá 53 + 4 cubos. Logo, x = 57.

Fatorando 57 em divisores, temos 57 = 3¹.19¹, logo, o número de divisores é (1 + 1).(1 + 1) = 4.

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