Questão 7229

CEFET-RJ 2012

Matemática

(G1-cftrj 2012) No plano cartesiano abaixo, a reta r passa pela origem e forma um ângulo θ com o eixo x. Escolhendo um ponto P(a, b) qualquer da reta r, e considerando θ = 40°, podemos afirmar que:

A

Se P pertence ao 1º quadrante, então a = b

B

Se P pertence ao 3º quadrante, então a < b.

C

a = b independente de qual quadrante estiver P.

D

Se P pertence ao 3º quadrante, então a > b.

Gabarito:

Se P pertence ao 3º quadrante, então a < b.

Resolução:

Como a reta tem uma angulação de 40°, podemos descartar as alternativas a e c, pois para que isso acontecesse seria necessário uma equação sendo y=x, porém isso só aconteceria se tivesse uma angulação de 45°.

Temos que podemos escrever essa equação no seguinte modelo:

$y=alpha x+eta$

Onde:

$alpha=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} e eta=f(0)$

Como a reta passa pela origem, beta será 0.

Calculando $alpha$ a partir dos pontos (0,0) e (a,b):

$alpha=frac{b-0}{a-0} ightarrow alpha=frac{b}{a}$

O coeficiente angular também é igual à tangente do ângulo de inclinação da reta, logo:

$frac{b}{a}=tan(40^circ)=alpha$

Como 40°<45°, a tangente de 40° será menor que a tangente de 45°, que é 1, sendo assim:

$frac{b}{a}<1$

Como as alternativas restantes afirmam que a e b estão no terceiro quadrante, vamos trabalhar com isso:

a<0 e b<0. Para que a razão entre b e a seja menor que 1, é necessário que:

$|a|>|b|$

Para isso acontecer, o valor de b deve ser maior que a, pois ambos serão negativos.

Logo, a resposta correta é a letra B, a<b

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