Questão 54643

CEFET-RJ 2018

Matemática

(CEFET RJ - 2020)

Uma professora propôs como desafio para sua turma de 7^o ano simplificar a fração:

$frac{1.2.3+2.4.6+4.8.12+7.14.21}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+7.21.35}$

Depois de alguns minutos, três alunos fizeram as seguintes afirmações:

I. O resultado na simplificação é um número inteiro.

II. O resultado da simplificação é $frac{2}{5}$

III. O resultado da simplificação é 5.

Sobre as afirmações, é correto dizer que:

Todas são falsas.

Duas são verdadeiras.

Apenas uma é verdadeira.

Todas são verdadeiras.

Gabarito:

Apenas uma é verdadeira.

Resolução:

SOLUÇÃO TRADICIONAL (e mais trabalhosa):

A fração é

$frac{1.2.3+2.4.6+4.8.12+7.14.21}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+7.21.35}$

A primeira coisa que devemos fazer é trabalhar com o numerador e depois com o denominador, ou seja, vamos analisar cada caso separadamente.

Numerador:

$1cdot2cdot3+2cdot4cdot6+4cdot8cdot12+7cdot14cdot21$

Vamos multiplicar cada número de cada parcela dessa soma. Em cada parcela dessa soma há 3 números multiplicando entre si. Começaremos a multiplicar os dois primeiros números e o resultado dessa primeira multiplicação nós multiplicaremos pelo terceiro número.

A primeira parcela da soma é $1cdot2cdot3=2cdot3=6$ .
A segunda parcela da soma é $2cdot4cdot6=8cdot6=48$ .
A terceira parcela da soma é $4cdot8cdot12=32cdot12=384$ .
A quarta parcela da soma é $7cdot14cdot21=98cdot21=2058$ .

Logo, o numerador é:

$1cdot2cdot3+2cdot4cdot6+4cdot8cdot12+7cdot14cdot21=6+48+384+2058=2496$

Denominador:

$1cdot3cdot5+2cdot6cdot10+4cdot12cdot20+7cdot21cdot35$

A primeira parcela da soma é $1cdot3cdot5=3cdot5=15$ .
A segunda parcela da soma é $2cdot6cdot10=12cdot10=120$ .
A terceira parcela da soma é $4cdot12cdot20=48cdot20=960$ .
A quarta parcela da soma é $7cdot21cdot35=147cdot35=5145$ .

Logo, o denominador é:

$1cdot3cdot5+2cdot6cdot10+4cdot12cdot20+7cdot21cdot35=15+120+960+5145=6240$

Então a fração fica assim:

$frac{1.2.3+2.4.6+4.8.12+7.14.21}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+7.21.35}=frac{2496}{6240}$

Agora nós temos que simplificar esta fração acima.

Vamos dividir o numerador e o denominador dessa fração final resultante por dois:

Numerador fica $frac{2496}{2}=1248$ e Denominador fica $frac{6240}{2}=3120$ . Vamos dividir tudo por dois de novo: Numerador é $frac{1248}{2}=624$ e Denominador é $frac{3120}{2}=1560$ . Veja que ainda podemos dividir cada termo por dois, pois ambos Numerador e Denominador são pares. Então, dividindo por dois de novo: Numerador é $frac{624}{2}=312$ e Denominador é $frac{1560}{2}=780$ . Como ambos ainda são pares, então dividindo por dois de novo: Numerador é $frac{312}{2}=156$ e Denominador é $frac{780}{2}=390$ . Fazendo isto novamente: Numerador é $frac{156}{2}=78$ e Denominador é $frac{390}{2}=195$ . Veja que agora o Denominador é ímpar, então não podemos mais dividir tudo por dois. Devemos analisar se há algum divisor de 78 (Numerador) que é também divisor de 195 (Denominador). Veja que a soma dos algarismos de 78 é 15, logo o Numerador é divisível por 3 e a soma dos algarismos de 195 também é 15, logo o Denominador também é divisor de 3. Dessa forma, dividindo o Numerador e o Denominador por 3: Numerador é $frac{78}{3}=26$ e Denominador é $frac{195}{3}=65$ . Também veja que $26=2cdot13$ e $65=5cdot13$ , logo, dividindo o Denominador e o Numerador por 13 cada temos:

Numerador é $frac{26}{13}=2$ e Denominador é $frac{65}{13}=5$ .

Logo, a fração fica simplificadamente como:

$frac{1.2.3+2.4.6+4.8.12+7.14.21}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+7.21.35}=frac{2496}{6240}=frac{2}{5}$ .

Logo, a afirmativa II é a única correta.

A Letra C é a correta.

SOLUÇÃO 2 (mais simples):

Para esta solução requeremos uma visão mais apurada do problema. Veja que a fração

$frac{1.2.3+2.4.6+4.8.12+7.14.21}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+7.21.35}$

possui vários termos múltiplos de 3 tanto no numerador quanto no denominador, então vamos dividir o numerador e denominador por 3:

Numerador: $frac{1cdot2cdot3+2cdot4cdot6+4cdot8cdot12+7cdot14cdot21}{3}=1cdot2+2cdot4cdot2+4cdot8cdot4+7cdot14cdot7$

Denominador: $frac{1cdot3cdot5+2cdot6cdot10+4cdot12cdot20+7cdot21cdot35}{3}=1cdot5+2cdot2cdot10+4cdot4cdot20+7cdot7cdot35$

Veja também que o Denominador pode ser reescrito como $1cdot5+2cdot2cdot10+4cdot4cdot20+7cdot7cdot35=5cdotleft(1+2cdot2cdot2+4cdot4cdot4+7cdot7cdot7 ight )$

E o Numerador pode ser reescrito como $1cdot2+2cdot4cdot2+4cdot8cdot4+7cdot14cdot7=2cdotleft(1+2cdot2cdot2 + 4cdot4cdot4 +7cdot7cdot7 ight )$

Agora fazendo a fração:

$frac{2cdotleft(1+2cdot2cdot2 + 4cdot4cdot4 +7cdot7cdot7 ight )}{5cdotleft(1+2cdot2cdot2 + 4cdot4cdot4 +7cdot7cdot7 ight )}=frac{2}{5}$