Questão 6664

CESVA 1969

Matemática

(CESCEA - 69) Se

, então tg a vale:

Gabarito:

Resolução:

Vamos partir das seguintes identidades trigonométricas:

$\sen(frac{x}{2})=sqrt{frac{1-cos(x)}{2}}\\ cos(frac{x}{2})=sqrt{frac{1+cos(x)}{2}}$

Disso podemos tirar:

$\tg(frac{x}{2})=sqrt{frac{sen(frac{x}{2})}{cos(frac{x}{2})}} ightarrow sqrt{frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}=frac{1}{2}$

Elevando ambos lados ao quadrado:

${frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}=frac{1}{4}$

Multiplicando em cruz:

$4(1-cos(x))=1+cos(x) ightarrow 4-4cos(x)=1+cos(x)$

Organizando:

$3=5cos(x) ightarrow cos(x)=frac{3}{5}$

Encontrando o seno agora:

$\sen^2(x)+cos^2(x)=1\ sen^2(x)=1-cos^2(x)\ sen^2(x)=1-(frac{3}{5})^2\\ sen^2(x)=1-frac{9}{25}\\ sen^2(x)=frac{16}{25}\\ sen(x)=sqrt{frac{16}{25}}\\ sen(x)=frac{4}{5}$

Sendo assim, podemos achar a tg(x):

$tg(x)=frac{sen(x)}{cos(x)} ightarrow frac{frac{4}{5}}{frac{3}{5}} ightarrow frac{4}{3}$

Letra A