Questão 64451

EFOMM 2021

Física

Um objeto de massa m é preso ao teto por um fio inextensível, sem massa e com comprimento L. De forma adequada, a massa é posta a girar com velocidade de módulo constante, descrevendo uma trajetória circular de raio L/3 no plano horizontal. Se g é o módulo da aceleração da gravidade, o período de rotação do pêndulo é:

A

$(frac{8 sqrt 2 pi ^2 L}{3g})^{frac{1}{2}}$

B

$(frac{2 pi ^2 L}{g}) ^{frac{1}{2}}$

C

$(frac{3sqrt 2 pi ^2 L}{g})^{frac{1}{2}}$

D

$(frac{4 pi ^2 L}{g})^{frac{1}{2}}$

E

$(frac{sqrt 3 pi ^2 L}{g})^{frac{1}{2}}$

Gabarito:

$(frac{8 sqrt 2 pi ^2 L}{3g})^{frac{1}{2}}$

Resolução:

Vamos primeiro desenhar esse movimento:

Vamos expressar as forças atuantes:

Desse modo, podemos montar um triângulo retângulo com essas forças, e comparar com um triângulo montado pelo tamanho do fio e o raio do movimento:

(Ignore a escala do desenho rs)

Encontrando x por pitágoras, podemos relacionar depois a força centrípeta e o peso por semelhança de triângulos, então vamos lá:

$x^2=L^2-(frac{L}{3})^2 ightarrow x^2=frac{8}{9}L^2 ightarrow x=frac{2sqrt2}{3}L$

Fazendo a semelhança de triângulos:

$frac{x}{frac{L}{3}}=frac{mg}{F_c}$

$frac{frac{2sqrt2}{3}L}{frac{L}{3}}=frac{mg}{F_c} ightarrow 2sqrt2=frac{mg}{F_c}$

Substituindo a força centrípeta por sua expressão:

$2sqrt2=frac{mg}{frac{mv^2}{R}} ightarrow 2sqrt2=frac{Rg}{v^2}$

Isolando a velocidade:

$v^2=frac{Rg}{2sqrt2} ightarrow v^2=frac{sqrt2 Rg}{4}$

A velocidade em um movimento circular pode ser expressa como:

$v=frac{2pi R}{T}$

Onde T é o período. Elevando essa expresão ao quadrado temos:

$v^2=frac{4pi^2 R^2}{T^2}$

Igualando as duas:

$frac{sqrt2 Rg}{4}=frac{4pi^2 R^2}{T^2}$

Isolando o período de um lado:

$T^2=frac{4pi^2 R^2cdot4}{sqrt2 Rg}$

Realizando os cálculos e racionalizando:

$T^2=frac{16sqrt2 pi^2 R}{2g} ightarrow T^2=frac{8sqrt2 pi^2 R}{g}$

Tirando a raiz quadrada:

$T=sqrtfrac{8sqrt2 pi^2 R}{g}$

Como o raio do movimento é L/3, substituimos:

$T=sqrtfrac{8sqrt2 pi^2 L}{3g}$

E mudamos a notação para potência:

$T=(frac{8sqrt2 pi^2 L}{3g})^{frac{1}{2}}$

E temos como resposta a letra A!

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