Questão 33722

ESCOLA NAVAL 1996

Matemática

(COLÉGIO NAVAL 1996) Na figura abaixo, tem-se um semicírculo de centro O e diâmetro AD e os semicírculos de diâmetros AB, BC, CD e centros O1, O2, e O3, respectivamente. Sabendo que AB = BC = CD e que AO = R, a área hachurada é igual a:

$frac{R^2left(3sqrt{3}-pi ight )}{4}$

$frac{R^2left(6sqrt{3}-pi ight )}{8}$

$frac{pi R^2}{4}$

$frac{pi R^2left(2sqrt{3}+pi ight )}{16}$

$frac{R^2left(5sqrt{3}-2pi ight )}{24}$

Gabarito:

$frac{R^2left(6sqrt{3}-pi ight )}{8}$

Resolução:

$r$ --> raio das semi-circunferências menores

$PD=frac{2R-2r}{2} Rightarrow PD=R-r$

Traçando o segmento AC, conclui-se que o triângulo ACD é retângulo, pois está inscrito em uma semi-circunferência.

Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo teremos:

$(2r)^2=2R(R-r) Rightarrow 4r^2=2R^2-2Rr Rightarrow 2r^2+Rr-R=0$

Resolvedo essa encontraremos $r=frac{R}{2}$

$OP=R-r Rightarrow OP= R-frac{R}{2} Rightarrow OP=frac{R}{2}$

$cos heta=frac{R}{frac{R}{2} }Rightarrow cos heta =frac{1}{2} Rightarrow heta =60^circ$

Sendo OC=OD tem-se que o triângulo OCD é equilátero.

A área amarela é igual a área do setor de 60º menos a área do triângulo OCD.

$A_m=frac{pi R^2}{6}-frac{R^2sqrt{3}}{4} Rightarrow A_m=frac{2pi R^2-3R^2sqrt{3}}{12}$

Calculando a área hachurada teremos:

$A=3.left(frac{pi R^2}{8}-frac{2pi R^2-3R^2sqrt{3}}{12} ight) Rightarrow A=3left(frac{3pi R^2-4pi R^2+6R^2sqrt{3}}{24} ight)$

$A=frac{6R^2sqrt{3}-pi R^2}{8} Rightarrow A=frac{R^2(6sqrt{3}-pi)}{8}$