Questão 34154

ESCOLA NAVAL 2013

Matemática

Os números complexos z e w são representados no plano xy, pelos pontos A e B, respectivamente. Se z = 2w + 5wi, w $\neq$ 0 e sabendo-se que a soma dos quadrados das coordenadas do ponto B é 25, então o produto escalar $overline{OA}$ por $overline{OB}$ , onde O é a origem, é

25/2

25/3

25/4

50/3

Gabarito:

Resolução:

$A(x,y ) Longrightarrow z= x+ i y$

$B( a, b) Longrightarrow w = a + ib$

$vec{OA} cdot vec{OB} = ax + by$

$z = 2 w + 5w i = 2 (a+ib) +5i (a+ib) =2a +2ib+5ia -5b = (2a-5b)+ i (5a+2b) = x + i y Longrightarrow egin{cases} x = 2a - 5b \ y =5a + 2 b end{cases}$

$vec{OA} cdot vec{OB} = a(2a-5b) + b(5a+2b) = 2a^2 - 5ab+5ab + 2b^2 = 2(a^2+b^2)$

$a^2 + b^2 = 25$

Logo OA.OB = 2*25 = 50

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