Questão 69591

FEPAR 2011

Matemática

(EPCAR - 2011)

Sabe-se que x, y e z são números naturais distintos e x > y. Considere A = x ⋅ y e B = (x ⋅ y ⋅ z)²e que o mdc (A, B) e o mmc (A, B) são, respectivamente, 21 e 1764

Se W = x² + y² + z², então o conjunto formado pelos divisores naturais de W possui

4 elementos.

6 elementos.

9 elementos.

12 elementos.

Gabarito:

4 elementos.

Resolução:

O mdc entre A,B é dado por:

$mdc(A,B) = xy = 21 = 3 cdot 7$

Logo, x = 7 e y =3, pois x > y, pelo enunciado.

Analogamente:

$mmc(A,B) = x^{2} cdot y^{2} cdot z^{2} = 1764$

$(xyz)^{2} = 1764 Rightarrow xyz = sqrt{1764} = 42$

Portanto: $xyz = 2 cdot 3 cdot 7 Rightarrow z = 2$

Desse modo:

$W = 49 + 9 + 4 = 62$

62 possui 4 divisores naturais: 1, 2, 31, 62.

Questão 69591

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