Questão 6985

FGV 2007

Matemática

(Fgv 2007) Na figura estão representados os gráficos de uma função linear e de uma função logarítmica que se interceptam em 2 pontos.

Então:

Gabarito:

Resolução:

1) Sabemos que a função $y=x-2$ e a função $y=log_a(x-1)$ se interceptam em 2 pontos (quando y=0 e quando x=p).

2) Nosso objetivo é encontrar o valor de a.

3) Quando x=p, temos que

$p-2=log_a(p-1)$

$mathrm{Aplicando:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad log _aleft(b ight)=frac{ln left(b ight)}{ln left(a ight)}$

$p-2=frac{ln left(p-1 ight)}{ln left(a ight)}$

5) $mathrm{Multiplicar:ambos:os:lados:por:}ln left(a ight)$

$pln left(a ight)-2ln left(a ight)=frac{ln left(p-1 ight)}{ln left(a ight)}ln left(a ight)$

6) Simplificando:

$pln left(a ight)-2ln left(a ight)=ln left(p-1 ight)$

7) Fatorando:

$ln left(a ight)left(p-2 ight)=ln left(p-1 ight)$

$ln left(a ight)=frac{ln left(p-1 ight)}{p-2}$

8) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad :a=log _bleft(b^a ight)$

$ln left(a ight)=ln left(e^{frac{ln left(p-1 ight)}{p-2}} ight)$

$\ mathrm{Quando:os:logaritmos:possuem:a:mesma:base::}log _bleft(fleft(x ight) ight)=log _bleft(gleft(x ight) ight)quad Rightarrow quad fleft(x ight)=gleft(x ight)$

$a=e^{frac{ln left(p-1 ight)}{p-2}}$

10) Simplificando:

$a=left(e^{ln left(p-1 ight)} ight)^{frac{1}{p-2}}$

$a=left(e^{ln left(p-1 ight)} ight)^{(p-2)^{-1}}$

$a=left(p-1 ight)^{(p-2)^{-1}}$

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