Questão 7760

FGV 2016

Matemática

(Fgvrj 2016) Um grupo de oito alunos está sendo liderado em um passeio por dois professores e, em determinado momento, deve se dividir em dois subgrupos. Cada professor irá liderar um dos subgrupos e cada aluno deverá escolher um professor. A única restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um aluno. O número de maneiras distintas de essa subdivisão ser feita é

128.

64.

248.

254.

256.

Gabarito:

254.

Resolução:

Observe que se temos 8 alunos e devemos dividi-los em 2 grupos, podemos dividi-los de várias maneiras.
Lembrando que cada grupo deve ter pelo menos 1 aluno.

Um grupo com 7 e outro com 1
Um grupo com 6 e outro com 2
Um grupo com 5 e outro com 3
Um grupo com 4 e outro com 4

Podemos fazer em combinação:
C(8,1) + ... + C(8,7)

Lembrando que a soma dos elementos de uma linha do Binômio de Newton é $\\2^{n}$
E como não podemos ter C(8,8), que seria um grupo com 8 e outro com 0 e nem C(8,0) onde não teríamos nenhum aluno selecionado.
Então:
$\\2^{8} - \binom{8}{0} - \binom{8}{8} = 256 - 1 - 1 = 254$

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