Questão 76836

FGV 2017

Matemática

(Espm 2017) A taxa de crescimento populacional de um país é de 2% ao ano. Utilizando os dados da tabela abaixo e considerando que essa taxa permanecerá constante, podemos afirmar que a população desse país dobrará em:

$n$	$log n$
$2,00$	$0,3010$
$2,02$	$0,3054$
$2,04$	$0,3096$

15 anos

20 anos

25 anos

30 anos

35 anos

Gabarito:

35 anos

Resolução:

Seja t o tempo, em anos, $P_i$ a população inicial e $P_f$ a população final, conseguimos construir a seguinte expressão:

$P_f = P_icdot(1,02)^{t}$

O enunciado pede o tempo para que a população dobre, então, temos:

$2cdot P_i = P_icdot(1,02)^{t} Leftrightarrow 2 = (1,02)^t$

Para resolver essa equação exponencial, podemos utilizar o log dos dois lados, e utilizando as propriedades de log, obtemos:

$log 2 = log (1,02)^t Leftrightarrow$

$Leftrightarrow log 2 = tcdotlog (1,02) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow log 2 = tcdotlog left ( frac{2,04}{2} ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow log (2) = tcdotleft [log (2,04) - log(2) ight ]$

Substituindo os valores da tabela, temos:

$0,3010 = tcdotleft [0,3096 - 0,3010 ight ] Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 0,3010 = 0,0086t Leftrightarrow$

$Leftrightarrow t = 35$

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