(Fgv 2017) O coeficiente de x12 na expansão de (1 + x4 + x5)10 é igual a
120.
90.
81.
60.
54.
Gabarito:
120.
(1 + x4 + x5)10
Para fazer essa expansão e encontrar o coeficiente que acompanha x12 vamos considerar o seguinte (1+x4) = z.
Assim temos que expandir (z+x5)10
O primeiro termo dessa expansão é C10,0*z10
O segundo termo dessa expansão é C10,1*z9*x5 mas como z9 vai ter termos x4, x8... quando multiplicar por x5 não terá termos x12
Nenhum outro termo da expansão além do primeiro contribuirá com termos de x12.
Assim para encontrar o coeficiente que acompanha x12 basta expandir (1+x4)10.
O termo que resultará em x12 será o quarto termo da expansão com os expoentes crescentes para x4.
Assim o coeficiente será C10,3 = 10!/(3!7!) = 10*9*8/6 = 720/6 =120.