Questão 67461

FGV 2020

Matemática

(FGV - 2020) No conjunto dos números reais, a equação exponencial $2^{x+2} + 8^x = 4^{x+1}$ possui

zero raiz

uma raiz

duas raizes

três raizes

quatro raizes

Gabarito:

uma raiz

Resolução:

$2^{x+2} + 8^x = 4^{x+1}$

Primeiramente, vamos passar todas as potências para base 2, pois todos os números são múltiplos de 2:

$2^{x+2} + (2^3)^x = (2^{2})^{x+1}$

Pelas propriedades de potências:

$2^{x+2} + 2^{3x} = 2^{2x+2}$

$2^{3x} = 2^{2x+2}-2^{x+2}$

Colocando em evidência:

$2^{3x} =2^{x+2}(2^x-1)$

Dividindo:

$frac{ 2^{3x}}{2^{x+2}} =(2^x-1)$

Por propriedades de potenciação:

$2^{2x-2} =(2^x-1)$

Podemos reescrever isto como:

$2^{2x} cdot 2^{-2} =(2^x-1)$

$2^{2x} cdot frac{1}{4} =(2^x-1)$

$2^{2x} =4(2^x-1)$

$(2^{x})^2 =4(2^x-1)$

Por substituição, podemos chamar $2^{x} = k$

Assim, a equação é:

$k^2 = 4 cdot(k-1)$

$k^2 =4k - 4$

$k^2 - 4k + 4 = 0$

Resolvendo a equação de segundo grau:

$Delta = (-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 4 = 16 - 16 = 0$ (neste ponto já é possível finalizar a questão, pois com delta = 0 já podemos saber que a equação possui apenas uma raiz).

$k = frac{-(-4) pm sqrt{0}}{2 cdot 1} = frac{4}{2} = 2$

Assim, resolvendo a substituição:

$2^x = k$

$2^x = 2$

$x = 1$

Possui apenas uma raiz.

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