Questão 67832

FGV 2021

Matemática

(FGV - 2021) Em relação à expressão algébrica $left (frac{x^2-x^3}{x^4} ight )^{-2}$ sua condição de existência no universo dos números reais e sua simplificação máxima são, respectivamente,

$x eq0;;x^4-x^2$

$x eq0;;e;;x eq1;;frac{x^4}{1-x^2}$

$x eq-1;;e;;x eq1;;frac{x^4}{1-x^2}$

$x eq0;;e;;x eq1;;frac{x^4}{x^2-2x+1}$

$x eq-1;;e;;x eq1;;frac{x^4}{x^2-2x+1}$

Gabarito:

$x eq0;;e;;x eq1;;frac{x^4}{x^2-2x+1}$

Resolução:

Simplificando a expressão, temos:

$\ left (dfrac{x^2-x^3}{x^4} ight )^{-2} = left (dfrac{x^2cdot (1-x)}{x^4} ight )^{-2} = left (dfrac{1-x}{x^2} ight )^{-2} = \ \ \ = left (dfrac{x^2}{1-x} ight )^{2} = dfrac{x^4}{(1-x)^{2}} = dfrac{x^4}{x^2-2x+1}$

Para verificarmos sua existência no conjunto dos números reais, temos que o denominador da fração tem que ser diferente de zero, ou seja:

$(1-x)^{2} eq 0 Rightarrow (1-x) eq 0 Rightarrow x eq 1$

Além disso, só podemos fazer as simplificações do primeiro passo quando $x eq 0$ , pois caso contrário teríamos uma indeterminação de divisão por zero.

Portanto, o gabarito correto é a letra D.

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