(FUVEST - 2000) Se x e y são dois números inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar?
2x + 3y
3x + 2y
xy + 1
2xy + 2
x + y + 1
Gabarito:
xy + 1
Como os números são consecutivos, necessariamente um deles é par. Analisaremos as alternativas:
a) 2x + 3y não é necessariamente ímpar, pois se x é par, y é necessariamente ímpar, o que implica 2x ser par e 3y ser ímpar e a soma ser ímpar.
b) 3x + 2y não é necessariamente ímpar, pois se y é par, x é necessariamente ímpar, o que implica 2y ser par e 3x ser ímpar e a soma ser ímpar.
c) xy + 1 é necessariamente ímpar pois, como um deles é necessariamente par, o produto xy é par e a soma xy + 1 é ímpar.
d) 2xy + 2 pode ser escrito como 2*(xy + 1) e fica evidente que é um número par.
e) x + y + 1 não é necessariamente ímpar, pois como um deles é necessariamente ímpar, basta perceber que somando o 1 ao número ímpar, teremos uma soma de dois números pares.
PS: Existem alguns detalhes de funções pares e impares que podem ser considerados:
1º - A soma de dois números naturais de mesma paridade é par.
2º - A soma de dois números naturais de paridade oposta é ímpar.
3º - O produto de dois números naturais só será ímpar se os dois números forem ímpares.