Questão 1

FUVEST 2019

Matemática

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questão 1)

Resolva os três itens abaixo.

a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6
primeiros termos dessa progressão.

b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.

c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n+1), qualquer que seja n $geq$ 1. Encontre o vigésimo termo dessa progressão.

Gabarito:

Resolução:

a) Seja a P.G de elementos $a_n$ , n= 1, 2, ....

$a_1=5: e : a_3=45,: q> 0,:$ $q$ é a razão.

Logo,

$\a_3=a_1cdot q^2\\45=5cdot q^2\\q^2=frac{45}{5}\\q^2=9\\q=3$

A soma dos 6 primeiro termos é:

$\S=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 \\Logo:\\S=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5\\S=a_1(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)\\S= 5cdot left ( frac{q^6 -1}{q-1} ight )=5cdot left ( frac{3^6-1}{3-1} ight )=5cdot 364=1820$

b) Números divisíveis por 3 seguem a regra geral de sequência 4K, k=1,2,3,.....

Repare que o somatório dos divisíveis por 4 é o somatório de uma P.A. de 1º elemento 4, razão 4 e último elemento 108 (menor que 112).

A soma dos 27 primeiros termos se dá por:

$\S_4=4+.....+104+108=frac{(4+108)27}{2}=1512$

Logo, a soma pedida é a soma dos números 1 a 111 menos $S_4$

$\S=frac{(1+111)111}{2}-1512=4704$

c) Seja a PA : $a_1,a_2,.....,a_n$

Temos:

$a_1+a_2+.....+a_n=n(2n+1)\\n=1:a_1=1(2+1)=3\\n=2:a_1+a_2=2(2.2+1)=10$

Como é uma P.A., então $a_2=a_1+q ,:: q$ é a razão.

Logo, $a_1+a_2=a_1+(a_1+q)=2.a_1+q=2.3+q=6+q=10Rightarrow q=4$

Logo,

$a_{20}=a_1+19q=3+19.4=79$

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