Questão 4

FUVEST 2019

Matemática

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questão 4)

Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por $p_a$ , a probabilidade de saírem duas bolas brancas é denotada por $p_b$ ,e a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes é denotada por $p_m$

a) Se A = 2 e B = 5, determine $p_b$ .

b) Se o total de bolas da urna é 21 e $p_m$ é o triplo de $p_a$ , quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna ?

c) Se A = 3 , para quais valores de B o valor de $p_m$ é estritamente maior do que $frac{1}{2}$ ?

Gabarito:

Resolução:

Para determinarmos o total de formas diferentes possíveis de se retirar simultaneamente duas bolas de um número n total de bolas qualquer, devemos fazer uma combinação de n e 2: $C^n_2$ .

Como a ordem não importa, dessa maneira excluímos os resultados similares. Sendo assim, podemos escrever $p_a$ , $p_b$ e $p_m$ como:

$p_a=frac{inom{A}{2}}{inom{A+B}{2}};::P_b=frac{inom{B}{2}}{inom{A+B}{2}};::P_m=frac{A.B}{inom{A+B}{2}}$

a) A=2; B=5

$\p_B=frac{inom{5}{2}}{inom{7}{2}}=frac{frac{5!}{2!3!}}{frac{7!}{2!5!}}=frac{5!}{2!3!}.frac{2!5!}{7!}=frac{2.5}{7.3}\\\p_B=frac{10}{21}$

b) A + B = 21

$\p_n=3p_ARightarrow frac{A.B}{inom{21}{2}}=frac{3inom{A}{2}}{inom{21}{2}}Rightarrow AB=frac{3A(A-1)(A-2)!}{2!(A-2)!}$

$A(21-A)=frac{3}{2}A(A-1)\\42-2A=3A-3\\5A=45\\A=9\\B=21-9=12$

c) A=3

$P_M=frac{3B}{inom{3+B}{2}}> frac{1}{2}Rightarrow frac{3B.2!(B-1)!)}{(B+3)(B+2)(B+1)!}> frac{1}{2}$

$\12B> B^2+2B+3B+6\\B^2-7B+6< 0\\B=frac{7pm 5}{2}\\B=6::ou::B=1$

Portanto, B pode assumir qualquer valor de S={ 2, 3, 4, 5}

Questões relacionadas

Questão 46

(Fuvest 2019 – 1ª fase) Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs. O númer...

Ver questão

Questão 47

(FUVEST - 2019 ) Se a função é definida por e a função é definida por , então g(x) é igual a

Ver questão

Questão 48

(Fuvest 2019 – 1ª fase) Considere a função polinomial ݂ definida por ݂f(x) = ax² + bx + c em que ܽa, b, c . No plano cartesiano xy,a única intersecção da r...

Ver questão

Questão 50

(FUVEST - 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das...

Ver questão