Questão 6

FUVEST 2019

Matemática

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questão 6)

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

$A=igl(egin{smallmatrix} 3 &2 \ 1& 1 end{smallmatrix}igr)$ e $B=igl(egin{smallmatrix} 1 &-2 \ -1& 3 end{smallmatrix}igr)$ , respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é $M=igl(egin{smallmatrix} F & U & V\ E & S & T end{smallmatrix}igr)$ , que, numericamente corresponde a $M=igl(egin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}igr).$

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes $N=Acdot M=igl(egin{smallmatrix} 3 &2 \ 1 & 1 end{smallmatrix}igr)igl(egin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}igr) = igl(egin{smallmatrix} 28 & 101 & 106\ 11 & 40 & 42 end{smallmatrix}igr)$ .

a) Se a matriz codificadora é $A=igl(egin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}igr)$ e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é $A=igl(egin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}igr)$ e o destinatário recebe a matriz codificada $N = igl(egin{smallmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\\ 47 & 13 & 9 & 75 end{smallmatrix}igr)$ , qual foi a mensagem enviada ?

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se $A=igl(egin{smallmatrix} 2 &-7 \\ 4& -14 end{smallmatrix}igr)$ , encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a $igl(egin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 end{smallmatrix}igr)$

Gabarito:

Resolução:

Seja A = matriz codificadora e B = matriz decodificadora, é certo que A.B = I.

a) $A=egin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}$ , $Megin{pmatrix} E & S & C\ O & L & A end{pmatrix}=egin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}$

$N = Acdot M=egin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 20 & 31 & 4\ 35 & 43 & 5 end{pmatrix}$

b) Temos que $N = Acdot M$ , se fizermos $A^{-1}N=Acdot A^{-1}cdot M$ , vem : $A^{-1}N=M$ . Logo, a matriz decodificadora é $B=A^{-1}$ . Assim,

$Acdot A^{-1}=I ightarrow egin{pmatrix} 1 &1 \ 1& 2 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} a & b\ c& d end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem:

$egin{pmatrix} a +c& b+d\ a+2c& b+2d end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$left{egin{matrix} a+2c=0 ightarrow a=-2c\ a+c=1 ightarrow -2c+c=1 herefore c=-1, a=2\ b+d=0 herefore b=-d\ b+2d=1 herefore d=1, b=-1 end{matrix} ight.$