Questão 4

FUVEST 2023

Física

(FUVEST - 2023)

Um circuito é formado por dois resistores em paralelo imersos no vácuo, separados por uma distância d ligados a uma bateria de força eletromotriz V. Cada resistor é formado por um fio muito longo, de mesmo comprimento e área de seção transversal, mas com resistividades elétricas $ho_{1}$ e $ho_{2}$ diferentes entre si, conforme ilustrado na figura.

a) Sendo $P_{1}$ e $P_{2}$ as potências dissipadas nos resistores 1 e 2, respectivamente, calcule a razão $frac{P_{1}}{P_{2}}$ . Expresse sua resposta em termos de $ho_{1}$ e $ho_{2}$ .

b) Considerando que a corrente total no circuito seja I, obtenha, em função de I, $ho_{1}$ e $ho_{2}$ , o valor das correntes $I_{1}$ e $I_{2}$ que atravessam os resistores 1 e 2, respectivamente.

c) Obtenha a expressão para o módulo do campo magnético no ponto C, mostrado na figura, equidistante dos dois resistores, considerando $I_{1}= frac{I_{2}}{4}$ . Expresse sua resposta somente em termos de d, $mu_{0}$ (constante de permeabilidade magnética do vácuo) e da corrente total I.

Note e adote:

A resistência elétrica é diretamente proporcional ao comprimento, à resistividade e inversamente proporcional à área da seção transversal. O módulo do campo magnético produzido por um fio muito longo transportando uma corrente I a uma distância r é dado por $frac{mu_{0}I}{2 pi r}$ , onde $mu_{0}$ é a constante de permeabilidade do vácuo.

Gabarito:

Resolução:

a) Podemos calcular a resistência elétrica de cada um dos fios por:

$R = p frac{L}{A}$

Denominando - se: L1 = L2 = L e A1 = A2 = A, temos:

$R_{1} = p_{1} frac{L}{A}$ e $R_{2} = p_{2} frac{L}{A}$

A potência dissipada pelos fios 1 e 2:

$P_{1} = frac{V^{2}}{R_{1}} = frac{V^{2}}{frac{p_{1}L}{A}} = frac{V^{2}A}{p_{1}L}$

$P_{2} = frac{V^{2}}{R_{2}} = frac{V^{2}}{frac{p_{2}L}{A}} = frac{V^{2}A}{p_{2}L}$

Portanto:

$frac{P_{1}}{P_{2}} = frac{p_{2}}{p_{1}}$

b) Como os dois fios estão em paralelo, temos:

V1 = V2

$R_{1}.I_{1}= R_{2}.I_{2}$

Temos que:

$R_{1} = p_{1} frac{L}{A}$ e $R_{2} = p_{2} frac{L}{A}$

$I_{1} p_{1} frac{L}{A} = I_{2} p_{2} frac{L}{A}$

Com isso, temos:

$I_{1} = frac{p_{2}}{p_{1}}. I_{2}$ e $I_{2} = frac{p_{1}}{p_{2}}. I_{1}$

I = I1 + I2

$I = frac{p_{1}}{p_{2}}. I_{1} + I_{1}$

$I = (1+ frac{p_{1}}{p_{2}}) I_{1}$

$I_{1} = (frac{p_{2}}{p_{1}+ p_{2}})I$

Agora vamos determinar o I2:

I1 + I2 = I

$frac{p_{2}}{p_{1}}I2 + I2 = I$

$(1 + frac{p_{2}}{p_{1}})I2 = I$

$I_{2} = (frac{p_{1}}{p_{1}+ p_{2}})I$

C) Utilizando a regra da mão direita, podemos determinar os campos magnéticos B1 e B2 gerados pelos fios 1 e 2:

I1 + I2 = I

$frac{I_{2}}{4} + I_{2} = I$

$frac{5I_{2}}{4} = I$

$I_{2} = frac{4}{5}I$ , portanto:

$I_{1} = frac{1}{5}I$

Vamos calcular agora os campos magnéticos B1 e B2:

$B_{1} =frac{mu _{0}I_{1}}{2Pi frac{d}{2}} = frac{mu _{0}. I_{1}}{dPi} = frac{mu _{0}. I}{5dPi}$

$B_{2} =frac{mu _{0}I_{2}}{2Pi frac{d}{2}} = frac{mu _{0}. I_{2}}{dPi} = frac{4mu _{0}. I}{5dPi}$

Os vetores B1 e B2 têm a mesma diração e sentido opostos, logo:

$|vec{B_{c}}| = B_{2} - B{1}$

$|vec{B_{c}}| = frac{4}{5}.frac{mu_{0}I}{Pi d} - frac{1}{5}.frac{mu_{0}I}{Pi d}$

$|vec{B_{c}}| = frac{3}{5}.frac{mu_{0}I}{Pi d}$

__________________________________________________________________________

Gabarito

a) $frac{P_{1}}{P_{2}} = frac{p_{2}}{p_{1}}$

b) $I_{1} = (frac{p_{2}}{p_{1}+ p_{2}})I$ e $I_{2} = (frac{p_{1}}{p_{1}+ p_{2}})I$

c) $|vec{B_{c}}| = frac{3}{5}.frac{mu_{0}I}{Pi d}$

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