Questão 69593

Matemática

(IFNMG - 2015)

Com relação aos números naturais e suas propriedades são feitas algumas afirmações.

I) O número 120 tem 16 divisores;

II) O mínimo múltiplo comum, mmc, de 120 e 90 é 360;

III) O máximo divisor comum, mdc, de 120 e 90 é 30;

IV) O produto entre o mmc e o mdc de 120 e 90 é equivalente a 120 x 90 = 10800.

Marque a alternativa que representa o número de afirmações corretas.

Gabarito:

Resolução:

Para verificar quais estão corretas deve ser analisado cada uma dessas afirmações:

I) O número 120 tem 16 divisores;

O conjunto de todos os divisores 120 é $D_{120}={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}$ , esse conjunto possui 16 elementos.

Então a afirmação I) é verdadeira.

II) O mínimo múltiplo comum, mmc, de 120 e 90 é 360;

O mmc de 120 e 90 pode ser determinado de dois modos, o primeiro é listando os múltiplos dos dois números:

$M_{120}={120,240,360,...}$

$M_{90}={90,180,270,360,...}$

Por tanto, o mmc é 360

O segundo modo é pela decomposição de fatores primos:

Por tanto, o mmc é 360. Então a afirmação II) é verdadeira

III) O máximo divisor comum, mdc, de 120 e 90 é 30;

O mdc de 120 e 90 pode ser determinado de dois modos, o primeiro é listando os divisores dos dois números:

$D_{120}={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}$

$D_{90}={1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90,...}$

Por tanto, o mdc é 30

O segundo modo é pela decomposição de fatores primos:

Por tanto, o mdc é 30. Então a afirmação III) é verdadeira

IV) O produto entre o mmc e o mdc de 120 e 90 é equivalente a 120 x 90 = 10800.

O mmc de 120 e 90 é 360 e o mdc de 120 e 90 é 30, multiplicando 360 por 30

$360cdot 30=10800$

Por tanto, a afirmação IV) é verdadeira.

Então às quatro afirmações são verdadeiras, logo a alternativa correta é a alternativa b).