Questão 34252

IME 1981

Matemática

(IME 1981) Mostre que pra todo natural n teremos (2 + i)ⁿ $\neq$ (2 - i)ⁿ.

Requer demonstração - "Questão dissertativa".

Gabarito:

Requer demonstração - "Questão dissertativa".

Resolução:

Veja que $2-i=overline{2+i}$ , portanto para que $(2+i)^n=(2-i)^n=overline{(2+i)^n}$ para algum valor de n, devemos ter $(2+i)^ninmathbb{R}$ ,

isso é equivalente a dizer que $mathcal{I}m(2+i)^n=0$ , que mostrarei ser impossível.

Primeira tentativa:

suponha que p e q são primos entre si, portando sendo ambos não nulos, o que pode-se dizer de $(2+i)(p+qi)=(2p-q)+(p+2q)i$ ?

Suponha que 2p-q e p+2q não sejam primos entre si e possuam um divisor comum d, portanto

$egin{cases} 2p-qequiv 0&mod d\ p+2qequiv 0&mod d end{cases}Rightarrow egin{cases} 2pequiv q&mod d\ 2qequiv -p&mod d end{cases}Rightarrow egin{cases} 5qequiv 0&mod d\5pequiv 0&mod d end{cases}$

com isso pode-se dizer que d=5, ou que p e q são divisíveis por d contradizendo nossa hipótese. Isso é um beco sem saída, mas nos inspira a tentar ver as potências de $2+i$ módulo 5.

Segunda tentativa:

Seja $a_n+b_ni=(2+i)^n$ , ao fazer $a_n+b_n=(2+i)(a_{n-1}+b_{n-1}i)$ obtemos as seguinte relações de recorrência:

$egin{matrix} a_n=2a_{n-1}-b_{n-1}\ b_n=a_{n-1}+2b_{n-1} end{matrix}$

olhando módulo 5, podemos ver que:

$egin{matrix} a_1equiv 2&mod 5\ b_1equiv 1&mod 5 end{matrix}Rightarrow egin{matrix} a_2equiv 2cdot2-1equiv 3&mod 5\ b_2equiv 2+2cdot 1equiv 4&mod 5 end{matrix}Rightarrow egin{matrix} a_3equiv 2cdot 3-4equiv 2&mod 5\ b_3equiv 3+2cdot 4equiv 11equiv 1&mod 5 end{matrix}$

observamos então uma periodicidade que é garantida pela relação de recorrência, ou seja:

$egin{cases} b_nequiv 1&mod 5;, ext{ se n {e} {i}mpar}\ b_nequiv 4&mod 5;, ext{ se n {e} par}\ end{cases}$

Logo nunca teremos uma parte imaginária nula para as potências de $2+i$ , pois para isso seria necessário $b_nequiv 0mod 5$ .