Questão 36823

IME 1986

Matemática

(IME 1986) Dadas duas esferas de raios R e r, tangentes exteriores, e um cone circunscrito a elas, calcule a área da superfície lateral do tronco de cone que tenha por bases os círculos de contato das esferas com o cone.

Gabarito:

Resolução:

Vamos analisar uma seção da figura que passe pelos centros das esferas:

Seja $O_1L$ paralelo à $P_1P_2$ e tal que $Lin O_2P_2$ , usando pitágoras em $O_1LO_2$ temo:

$O_2L^2+(R-r)^2=(R+r)^2\\Rightarrow O_2L^2+R^2-2Rr+r^2=R^2+2Rr+r^2\\Rightarrow O_2L^2=4Rr\\Rightarrow O_2L=2sqrt{Rr}$

A estratégia para calcular essa área será pegar a área lateral do cone grande e subtrair a área do pequeno. Para isso precisamos calcular suas geratrizes e raios das bases.

Cálculo da geratrizes VP₁ e VP₂:

comecemos observando as semelhança tripla:

$VP_1O_1sim O_1LO_2sim VP_2O_2$

daí retiramos:

$frac{VP_1}{r}=frac{O_1L}{R-r}Rightarrow VP_1=frac{2rsqrt{Rr}}{R-r}$

$frac{VP_2}{R}=frac{O_1L}{R-r}Rightarrow VP_2=frac{2Rsqrt{Rr}}{R-r}$

Cálculo dos raios das bases BP₁ e AP₂:

desta vez a semelhança usada será:

$P_1BO_1sim O_1LO_2sim P_2AO_2$

$frac{BP_1}{r}=frac{O_1L}{R+r}Rightarrow BP_1=frac{2rsqrt{Rr}}{R+r}$

$frac{AP_2}{R}=frac{O_1L}{R+r}Rightarrow AP_2=frac{2Rsqrt{Rr}}{R+r}$

Já temos agora todos os dados necessários para calcular a área desejada:

$egin{matrix} S=&;picdot VP_2cdot AP_2-picdot VP_1cdot BP_1\ =&;pileft(frac{2Rsqrt{Rr}}{R-r}cdotfrac{2Rsqrt{Rr}}{R+r}-frac{2rsqrt{Rr}}{R-r}cdotfrac{2rsqrt{Rr}}{R+r} ight )\\ =&;pileft(frac{4R^3r}{R^2-r^2}-frac{4Rr^3}{R^2-r^2} ight )\\ =&;4pi Rrleft(frac{R^2}{R^2-r^2}-frac{r^2}{R^2-r^2} ight )\\ =&;4pi Rr end{matrix}$