Questão 71364

IME 1996

Matemática

(IME - 96) Calcule a soma a seguir:

$frac{1}{1cdot4}+frac{1}{4cdot7}+frac{1}{7cdot10}+cdots +frac{1}{2998cdot3001}$

Gabarito:

Resolução:

Observe que:

$frac{1}{4} Rightarrow (frac{1}{1}-frac{1}{4}) = frac{3}{4}$

$frac{1}{4cdot 7} Rightarrow (frac{1}{4}-frac{1}{7}) = frac{3}{4cdot 7}$

$frac{1}{7cdot 10} Rightarrow (frac{1}{7}-frac{1}{10}) = frac{3}{7cdot 10}$

Então podemos perceber que basta multiplicar a soma principal por $frac{1}{3}$ :

$S = frac{1}{1cdot4}+frac{1}{4cdot7}+frac{1}{7cdot10}+cdots +frac{1}{2998cdot3001}$

$S = frac{1}{3}cdotleft[ (frac{1}{1}-frac{1}{4}) + (frac{1}{4}-frac{1}{7}) + dots + (frac{1}{2998}-frac{1}{3001}) ight ]$

$S = frac{1}{3}cdotleft[ frac{1}{1} + (frac{1}{4} - frac{1}{4}) + (frac{1}{7} - frac{1}{7}) + dots + (frac{1}{2998} - frac{1}{2998}) - frac{1}{3001} ight ]$

$S = frac{1}{3}cdotleft[ 1-frac{1}{3001} ight ]$

$S = frac{1}{3}cdot frac{3000}{3001}$

$S = frac{1000}{3001}$