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Questão 39435

IME 1999
Matemática

(IME 1999) Determine as possíveis PA's tais que o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente de n.

Gabarito:

Resolução:

Seja a_1,a_2,... uma PA de ração r.

Para que  frac{S_n}{S_{2n}} = frac{frac{(a_1 + a_n)n}{2}}{frac{(a_1 + a_{2n})2n}{2}} = frac{(a_1 + a_n)}{2(a_1 + a_{2n})} = frac{2a_1 + (n-1)r}{2(2a_1 + (2n-1)r)}  seja independente de n, devemos ter:

frac{2a_1 + (n-1)r}{2(2a_1 + (2n-1)r)} = k, oned k indenpende de n. Assim,

2a_1 + (n-1)r = 4a_1k + 2kr(2n-1)

2a_1(1 - 2k) = r(-n+1 + 4kn - 2k) (*)

Note que devemos ter a_1 eq 0, pois caso contrário k dependeria de n.

Assim, por (*), temos duas possibilidades: r = 0 ou k = frac{1}{4}  

(pois assim -n + 4kn = 0).

Note que se  k = frac{1}{4}  então  r = 2a_1.

Logo as possíveis PA's são as de razão: r = 0 ou r = 2a_1

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