Questão 9

IME 2008

Química

(IME - 2008/2009) Uma amostra de massa 1g de determinado elemento radioativo $_{z} ^{100}Q$ (meia-vida 23,0 anos) decai, por meio de uma emissão alfa, gerando o elemento R (meia-vida 34,5 anos). Este, por sua vez, emite uma partícula beta, dando origem ao elemento estável S.

Sabe-se que as frações molares dos elementos Q e S são funções do tempo de decaimento, expressas, respectivamente, por:

$x_{Q} = e^{-l_{1}t}$ $x_{s} = 1 - frac{k_{2}}{k_{2} - k_{2}} e^{-k_{1}t} - frac{k_{1}}{k_{1} - k_{2}}e^{-k_{2}t}$

onde k₁ e k₂ são as constantes de velocidade da primeira e da segunda reação de decaimento, respectivamente.

Sabendo que o máximo de uma função da forma $f(t) = e^{at} - e^{bt}, b<a <0, t>0$ , é obtido quando $ae^{at} - be^{bt} =0$ , determine a máxima quantidade, em massa, que é atingida pelo elemento R.

Gabarito:

Resolução:

$_ZQ^{100}underset{K_1}{ ightarrow};_2alpha^4+_{Z-2}R^{96}$

$_{Z-2}R^{96}underset{k_2}{ ightarrow};_{-1}eta^0+;_{Z-1}S^{96}$

A quantidade de mols das espécies (Q, R e S) pode ser calculada por:

$n=frac{m}{MM}=frac{1}{100}=10^{-2};mol$

Calculando o k:

$k=frac{ln(2)}{P}$

$k_1=frac{ln(2)}{23}=frac{0,69}{23}=0,03;ano^{-1}$

$k_2=frac{ln(2)}{34,5}=frac{0,69}{34,5}=0,02;ano^{-1}$

Ponto máximo:

$ae^{at}-be^{bt}=0$

Como b < a < 0

$-0,02e^{at}-(-0,03e^{bt})=0$

$-0,02e^{at}+0,03e^{bt}=0$

$0,02e^{-0,02t}=0,03e^{-0,03t}=0$

$frac{3}{2}=e^{-0,02t+0,03t}$

Colocando ln dos dois lados:

$lnfrac{3}{2}=ln(e^{-0,02t+0,03t})$

$ln({3})-ln({2})=ln(e^{-0,02t+0,03t})$

$1,1-0,7=0,1t$

$t=40;anos$

$X_Q=e^{-0,03cdot 40}=e^{-1,2}$

$X_S=1+2e^{-1,2}-3e^{-0,8}$

$X_R=1-e^{-1,2}-(1+2e^{-1,2}-3e^{-0,8})=3e^{-0,8}-3e^(-1,2)$

$X_R=frac{n_R}{n_t}$

Substituindo n_R por m_R/MM_R:

$3(e^{-0,8}-e^{-1,2})=frac{frac{m_R}{96}}{3cdot 10^{-2}}$

$m_R=0,426;g$

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