Questão 1

IME 2010

Física

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

A figura acima mostra um sistema composto por uma parede vertical com altura H, uma barra com comprimento inicial L0 e uma mola. A barra está apoiada em uma superfície horizontal sem atrito e presa no ponto A por um vínculo, de forma que esta possa girar no plano da figura. A mola, inicialmente sem deformação, está conectada à parede vertical e à barra.

Após ser aquecida, a barra atinge um novo estado de equilíbrio térmico e mecânico. Nessa situação a força de reação vertical no apoio B tem módulo igual a 30 N. Determine a quantidade de calor recebida pela barra.

Dados:

• H = 3 m;

• L0 = $3 sqrt{2} m$ ;

• o peso da barra: P = 30 N;

• constante elástica da mola: k = 20 N/m;

• $frac{Pc}{galpha}=frac{50+30+sqrt{2}}{3sqrt{2}}$ joules, onde c é o calor específico da barra; α é o coeficiente de dilatação linear da barra; g é a aceleração da gravidade; e P é o peso da barra.

Gabarito:

Resolução:

Pelo equilíbrio de rotação em relação ao ponto A:

$P cdot frac{L}{2} cdot cos heta + Fcdot H - N_{B} L cdot cos heta = 0$

$15L cdot cos heta + 3F - 30 L cdot cos heta = 0$

$F = 5Lcos heta$

Sendo F a força elástica:

$20kx = 5L cdot cos heta$

$20k(x_{1} - x_{0}) = 5L cdot cos heta$

Por Pitágoras:

$L_{0}^{2} = H^{2} + x_{0}^{2}$

$x_{0} = 3 m$

Logo:

$5x = 20 cdot (x_{1}-3)$

$x_{1} = 4 m$

Ainda, por Pitágoras:

$L^{2} = H^{2} + x^{2} Rightarrow L = 5 m$

E, por fim:

$Delta L = L - L_{0} = (5 - sqrt{3})$

Aplicando as equações de dilatação resolvemos a segunda parte do problema:

$Q = mcDelta T$

$Delta L = L_{0} cdot alpha cdot Delta T$

Assim: $Delta T = frac{Delta L}{L_{0}alpha}$

Substituindo na equação do calor

$Q = mc cdot (frac{Delta L}{L_{0} cdot alpha})$

$Q = frac{mg cdot c}{galpha} (frac{Delta L}{L_{0}})$

$Q = \frac{Pc}{g alpha} cdot frac{Delta L}{L_{0}}$

Substituindo todos os dados, obtemos:

$Q = frac{10 (5 + 3sqrt{2})}{3sqrt{2}} cdot (frac{5 - 3sqrt{2}}{3sqrt{2}})$

$Q = frac{35}{9} J$

Calculando o trabalho:

$W = frac{kx^{2}}{2} = frac{20}{2} = 10 J$

Assim todo calor recebido pelo sistema vale:

$Q_{total} = q + W = 10 + frac{35}{9} = 13, 9 J$

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