Questão 3

IME 2010

Física

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Uma carga positiva está presa a um espelho plano. O espelho aproxima-se, sem rotação, com velocidade constante paralela ao eixo x, de uma carga negativa, pendurada no teto por um fio inextensível. No instante ilustrado na figura, a carga negativa se move no sentido oposto ao da carga positiva, com a mesma velocidade escalar do espelho. Determine, para esse instante:

a) as componentes x e y do vetor velocidade da imagem da carga negativa refletida no espelho;

b) as acelerações tangencial e centrípeta da carga negativa;

c) as componentes x e y do vetor aceleração da imagem da carga negativa refletida no espelho.

Dados:

• ângulo entre o eixo x e o espelho: α;

• ângulo entre o eixo x e o segmento de reta formado pelas cargas: β;

• diferença entre as coordenadas y das cargas: d;

• comprimento do fio: L;

• velocidade escalar do espelho: v;

• módulo das cargas elétricas: Q;

• massa da carga negativa: m;

• constante elétrica do meio: K.

Gabarito:

Resolução:

a) Pela geometria do problema:

$90 ^{circ} + phi + eta + (alpha - eta) = 180 ^{circ}$

$oxed {phi = (- alpha + 90^{circ})}$

Ainda:

$90 ^{circ} + phi + heta + (90 - alpha) = 180$

$oxed { heta = 2alpha - 90^{circ}}$

Dessa forma:

$v_{i e x} = 2v cdot sen (2alpha - 90 ^{circ})= -2 v cdot cos(2alpha)$

$v_{i e y} = 2v cdot cos (2alpha - 90 ^{circ})= -2 v cdot sen(2alpha)$

Por fim:

$v_{ie x} = v_{ix} = v_{ex}$

$v_{ix} = v_{ex} + v_{ex}$

$vi_{x} = -2v cdot cos (2alpha) + v = v(1 - 2cos (2alpha))$

$v_{iey} = v_{iy} - v_{ey}$

$v_{i y} = -2v cdot sen (2alpha)$

b) A resultante centrípeta no instante representado:

$F_{cp} = T + f_{y} - P = T + fseneta - P$

$F_{cp} = frac{mv^{2}}{L}$

E a aceleração centrípeta:

$a_{cp} = frac{v^{2}}{L}$

A força resultante tangencial vale:

$F_{t} = F cos eta = frac{kQ^{2} sen ^{2} eta}{L^{2}} cdot coseta$

E a aceleração tangencial será, portanto:

$a_{t} = frac{kQ^{2}}{m L^{2}} cdot sen^{2}eta cdot cos eta$

c) Assumindo o espelo como referencial inercial:

$a_{ix} = a_{ci} cdot cos heta + a_{ti}cdot sen heta$

$a_{ix} = frac{v^{2}}{L} cdot sen (2x) - frac{kQ^{2}}{mL^{2}} cdot sen^{2}eta cdot cos eta cdot cos 2alpha$

$a_{iy} = a_{ci} cdot sen heta - a_{t1} cdot cos heta$

$a_{iy} = frac{-v^{2}}{L} cdot cos (2alpha) - frac{kQ^{2}}{mL^{2} } cdot sen^{2} eta cdot cos eta cdot sen2 alpha$

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