Questão 7

IME 2010

Física

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

A figura acima mostra um corpo sólido cilíndrico de altura h, densidade ρ e área da base A, imerso em um líquido de mesma densidade em um tanque também cilíndrico com base interna de área 4A. A partir do instante t = 0 (situação da figura), o líquido passa a ser bombeado para fora do tanque a uma vazão variável dada por U(t) = bAt, onde b é uma constante positiva.

Dados:

• comprimento da corda entre os pontos B e C: L;

• densidade linear da corda entre os pontos B e C: µ;

• aceleração gravitacional local: g.

Observações:

• desconsidere o peso da corda no cálculo da tração;

• a tensão instantânea na corda é a mesma em toda a sua extensão.

Pede-se:

a) a expressão do nível y do líquido (onde y ≤ h) em função do tempo;

b) a velocidade v(t) de um pulso ondulatório transversal, partindo do ponto B em t = 0, e sua respectiva posição x(t);

c) a razão L/h para que o pulso ondulatório transversal, partindo do ponto B em t = 0, chegue até C no mesmo instante em que o nível do líquido alcança o ponto E.

Gabarito:

Resolução:

a) O volume todo que é retirado a partir do instante inicial é obtido por:

$V = y (4A - A) = 3Ay$

V pode ser encontrado pela integral:

$V = int {U(t) dt}$

$V = int_{0}^{t} {(bAt)dt}$

$V = frac{BAt^{2}}{2}$

$3Ay(t) = frac{BAt^{2}}{2}$

$y(t) = frac{bt^{2}}{6}$

b) Considere a tração T constante:

$v = sqrt{frac{T}{mu}}$

Onde T = P - E

$T = ho cdot A cdot h cdot g - ho cdot A (h-y) cdot g = ho y A g$

Substituindo na equação da velocidade:

$v(t) = sqrt{frac{ ho A g y}{mu}}$

Substituindo y:

$v(t) = sqrt{frac{ ho A g}{mu} cdot frac{bt^{2}}{6}} = t cdot sqrt{frac{bA ho g}{6 mu}}$

Sabendo que a velocidade inicial vale zero, podemos aplicar a função horária da posição para o mruv:

$x(t) = x_{0} + v_{0}t + at^2 cdot frac{1}{2}$

$x(t) = t^{2} cdot sqrt{frac{bA ho g}{24 mu}}$

c) No instante final T:

$x(T) = L e y(T) = h$

Isto posto:

$frac{{L}}{h} = frac{x(T)}{y(T)} = frac{T^{2} cdot sqrt{frac{bA ho g}{24 mu}}}{frac{bT^{2}}{6}}$

$frac{L}{h} = sqrt{frac{3A ho g}{2bmu}}$

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