Questão 2

IME 2010

Química

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Os isótopos do urânio U²³⁸ e U²³⁵ aparecem na natureza sempre juntos. Como o U²³⁵ não é gerado a partir do U²³⁸ por desintegração e admitindo que não há razão para privilegiar um em relação ao outro, podemos supor que o Criador os tenha colocado em proporções iguais no momento da formação da Terra. Considerando válida tal hipótese, calcule a idade que nosso planeta teria.

Dados:

Tempo de meia-vida do U²³⁸ = 4,50 x 10⁹ anos

Tempo de meia-vida do U²³⁵ = 7,07 x 10⁸ anos

Abundância isotópica do U²³⁸ = 99,28%

Abundância isotópica do U²³⁵ = 0,72%

$log;0,9928 = -0,0031$	$log2 = 0,30$	$log3 = 0,48$	$log 3,1 = 0,49$
$ln2 = 0,69$	$ln3 = 1,1$	$ln137,9 = 4,9$	$5^{1/2}=2,24$

Gabarito:

Resolução:

Cálculo de massa inicial e massa atual de U²³⁵:

$m_{inicial}=0,50cdot m_{total de urhat{a}nio}$

$m_{atual;U^{235}}=frac{0,72}{100}cdot m_{total de urhat{a}nio}$ (equação 1)

Cálculo de massa inicial e massa atual de U²³⁸:

$m_{inicial}=0,50cdot m_{total de urhat{a}nio}$

$m_{atual;U^{238}}=frac{99,28}{100}cdot m_{total de urhat{a}nio}$ (equação 2)

Como a curva de desintegração radioativa é exponencial, podemos usar a cinética de desintegração de primeira ordem:

$m_{atual} = m_{inicial} cdot e^{-kt}$ (equação 3)

$t_{1/2} = frac{0,693}{k}$

Observação: podemos aplicar a expressão matemática acima para a quantidade de átomos ou para o número de mols de átomos

Utilizando as fórmulas dadas:

Cálculo da constante de desintegração de U²³⁵:

$k = frac{0,693}{t_{1/2}}$

$k_{U^{235}} = k_{1} =frac{0,693}{7,07cdot 10^{8}}$

Cálculo da constante de desintegração de U²³⁸:

$k = frac{0,693}{t_{1/2}}$

$k_{U^{238}}= k_{2}=frac{0,693}{4,50cdot 10^{9}}$

Divisão da equação 2 pela equação 1:

$frac{m_{atual; U^{238}}}{m_{atual;U^{235}}} = frac{99,28}{100}cdot frac{100}{0,72}cdot frac{m_{total;urhat{a}nio}}{m_{total;urhat{a}nio}}$

$frac{m_{atual; U^{238}}}{m_{atual;U^{235}}} = 137,9$ (equação 4)

Substituição da equação 3 na equação 4:

$frac{m_{inicial}cdot e^{-k_{2}cdot t}}{m_{inicial}cdot e^{-k_{1}cdot t}} = 137,9$

$frac{e^{-k_{2}cdot t}}{e^{-k_{1}cdot t}} = 137,9$ (equação 5)

O logaritmo neperiano (ln) é definido como o log na base e (número neperiano):

$log_{e}x = lnx$

Tomando o ln (logaritmo neperiano) dos dois lados da equação 5:

$ln(frac{e^{-k_{2}cdot t}}{e^{-k_{1}cdot t}}) = ln(137,9)$

O logaritmo de uma razão é a subtração entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador:

$log(frac{a}{b}) = log a - logb$

Portanto:

$ln(e^{-k_{2}cdot t}) - ln(e^{-k_{1}cdot t}) = ln(137,9)$

Nesse ponto utiliza-se outra propriedade de logaritmos: o logaritmo neperiano do número neperiano elevado a x é igual a x:

$ln(e^{x}) = x$

Portanto:

$-k_{2}cdot t - (-k_{1}cdot t) = ln(137,9)$

$k_{1}cdot t -k_{2}cdot t = ln(137,9)$

$tcdot (k_{1} -k_{2}) = ln(137,9)$

Substituição dos valores de k₁ e k₂ calculados anteriormente:

$k_{U^{235}} = k_{1} =frac{0,693}{7,07cdot 10^{8}} = 0,0980cdot 10^{-8}$

$k_{U^{238}}= k_{2}=frac{0,693}{4,50cdot 10^{9}} = 0,154cdot 10^{-9}$

$tcdot (0,098cdot 10^{-8} - 0,154cdot 10^{-9}) = ln(137,9)$

$tcdot 8,26cdot 10^{-10} = 4,93$

$t= frac{4,93}{8,26cdot 10^{-10}}$

$t= 5,96cdot 10^{9};anos$

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