Questão 6

IME 2011

Física

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

A figura acima mostra a trajetória parabólica de um raio luminoso em um meio não homogêneo. Determine o índice de refração n desse meio, que é uma função de y, sabendo que a trajetória do raio é descrita pela equação y = ax², onde a > 0.

Dados:

$cotg heta = 2ax;$

$n(0) = n_{o}.$

Observação:

P(x,y) é o ponto de tangência entre a reta t e a parábola.

Gabarito:

Resolução:

Tomando pontos $(p,q)$ e $P(x,y)$ quaisquer da parábola, podemos equacionar pela Lei de Snell:

$n(q) cdot sen (i) = n(y) cdot sen (r)$

Analise o gráfico:

O enunciado nos informa que:

$cotg(i) = 2a cdot p$

$cotg(r) = 2a cdot x$

Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:

$sen heta = sqrt{frac{1}{1+cotg^{2} heta}}$

Reescrevendo a Lei de Snell e substituindo os valores:

$n(q) cdot sqrt{frac{1}{1+cotg^{2} (i)}} = n(y) cdot sqrt{frac{1}{1+ cotg^{2}(r)}}$

$n(q) cdot sqrt{frac{1}{1+4a^{2}p^{2}}} = n(y) cdot sqrt{frac{1}{1+4a^{2} p^{2}}}$

Se tomarmos o ponto (p,q) como (0,0) é possível usar n(0) = n₀e daí concluímos que:

$n(y) = n_{0} cdot sqrt{1+4a^{2} x^{2}}$ .

A função pedida pelo enunciado deve depender de y:

$x^{2} = frac{y}{a}$

Usando a equação da parábola:

$n(y) = n_{0} cdot sqrt{1 + 4ay}$

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