Questão 7

IME 2011

Física

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

A figura apresenta uma fonte de luz e um objeto com carga +q e massa m que penetram numa região sujeita a um campo elétrico E uniforme e sem a influência da força da gravidade. No instante t = 0, suas velocidades horizontais iniciais são v e 2v, respectivamente. Determine:

a) o instante t em que o objeto se choca com o anteparo;

b) a equação da posição da sombra do objeto no anteparo em função do tempo;

c) a velocidade máxima da sombra do objeto no anteparo;

d) a equação da velocidade da sombra do objeto no anteparo em função do tempo caso o campo elétrico esteja agindo horizontalmente da esquerda para a direita.

Gabarito:

Resolução:

a) A força resultante sobre a partícula é a força elétrica.

$F_{el} = ma$

$qE = ma$

$a = frac{qE}{m}$

Adotando o eixo positivo pra cima, temos que a aceleração escalar será dada por:

$alpha = -frac{qE}{m}$

Portanto, temos uma situação análoga a um lançamento horizontal. O movimento vertical será acelerado e o movimento em x será uniforme. Montando as equações do movimento para os dois eixos:

$x_{0} (t) = x_{0} (0) + v_{0} cdot t$

$oxed {x_{0} (t) = 2vt}$

$y_{0}(t) = y_{0} (0) + v_{0y} (0) cdot t + frac{alpha t^{2}}{2}$

$oxed{y_{0} (t) = d - frac{q E t^{2}}{2m}}$

O instante T em que o objeto toca o chão pode ser calculado:

$y_{0} (T) = 0$

$d - frac{qE T^{2}}{2m} = 0$

$oxed {T = sqrt{frac{2md}{qE}}}$

b) Veja a figura. Ela representa um instante t qualquer anterior ao toque do objeto com o eixo referencia:

Temos, portanto, dois triângulos semelhantes, portanto:

$frac{b(t) - a(t)}{x_{0} (t) - a(t)} = frac{2d}{ 2d - y_{0} (t)}$

$frac{b(t) - vt}{2vt - vt} = frac{2d}{2d - (d - frac{qEt^{2}}{2m})}$

$oxed {b(t) = vt + frac{4mdvt}{2md + qEt^{2}}}$

c) A velocidade da sombra em função do tempo será dada por:

$v_{sombra} = d frac{b(t)}{dt}$

$v_{sombra} = v + frac{4mdv cdot (2md + qEt^{2}) - 4mdvt (2qEt)}{(2md + qEt^{2})^{2}}$

$v_{sombra} = v + frac{4mdv(2md - qEt^{2})}{(2md + qEt^{2})^{2}}$

Para qualquer instante essa função é decrescente, pois com o aumento de t o numerador diminuir e o denominador aumenta.

O máximo dessa função vai ocorrer quando t =0, portanto. Isto posto:

$v_{sombra max} = v_{sombra} (0)$

$v_{sombra} (0) = v+ frac{4mdv(2md)}{(2md) ^{2}}$

$v_{sombra} (0) = 3v$

d) Se o campo elétrico age da esquerda para a direita, o objeto fará um MRUV na direção X e sua ordenada será constante tal que y₀= d.

Agora sua aceleração será positiva:

$alpha = + frac{qE}{m}$

Assim, podemos montar uma equação horária do movimento:

$x_{0} (t) = x_{0}(t) (0) + v_{0 x} t + frac{alpha t^{2}}{2}$

$x_{0}(t) = 2vt + frac{qEt^{2}}{2m}$

Os triângulos (I) e (II) são congruentes:

$x_{0} - a(t) = b(t) - x_{0} (t)$

$b(t) = 2x_{0}t - a(t)$

$b(t) = 2cdot (2vt + frac{qEt^{2}}{2m}) - vt$

$b(t) = 3vt + frac{qEt^{2}}{m}$

Portanto, a velocidade nessa nova direção será dada por:

$v_{sombra} (t) = d frac{b(t)}{dt}$

$oxed {v_{sombra} = 3v + frac{2Eqt}{m}}$

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