Questão 10

IME 2016

Química

[IME-2016/2017 - 2ª fase]

A técnica de Osmometria de Pressão de Vapor (OPV) permite determinar a massa molar de uma substância desconhecida através da quantificação da diferença de temperatura ( $Delta$ T) entre uma gota de solução diluída da substância desconhecida e uma gota do solvente puro utilizado nesta diluição, em câmara saturada com o mesmo solvente, conforme o dispositivo abaixo.

A diferença de temperatura ( $Delta$ T) tem relação direta com o abaixamento da pressão de vapor ( $Delta$ P), conforme a expressão:

$Delta T=frac{RT^{2}_{0}}{P_{0}Delta H_{vap}}.Delta P$

em que R = constante universal dos gases ideais, T₀ = temperatura de ebulição do solvente puro, P₀ = pressão de vapor do solvente puro e $Delta$ H_vap = entalpia de vaporização do solvente puro. Demonstre que, segundo a técnica de OPV, a massa molar M₁ de uma substância desconhecida pode ser quantificada por:

$M_{1}=frac{RT^{2}_{0}}{Delta H_{vap}}.frac{W_{1}M_{0}}{Delta T}$

em que M₀ = massa molar do solvente e W₁ = fração mássica do soluto desconhecido na solução diluída.

Gabarito:

Resolução:

Expressão fornecida no enunciado:

$Delta T=frac{RT^{2}_{0}}{p^{*}_{0}Delta H_{vap}}.Delta p$ (equação 1)

Essa equação pode ser reescrita como

$Delta T=frac{RT^{2}_{0}}{Delta H_{vap}}.frac{Delta p}{p^{*}_{0}}$ (equação 2)

Pela Lei de Raoult, a pressão parcial de um componente i na solução (p_i) é a multiplicação entre pressão parcial do componente i puro (p*_i) e a fração molar de i (x_i)

$p_{i} = p^{*}_{i}cdot x_{i}$

A pressão de vapor total da solução é a soma das pressões parciais dos componentes. O sistema em questão é formado por dois líquidos, então a pressão de vapor da solução é

$p=p_{0}+p_{1}$

Como o soluto é não-volátil, sua pressão parcial é zero. Portanto, a pressão de vapor da solução é igual à pressão de vapor do solvente

$p = p_{0} = p^{*}_{0}cdot x_{0}$

A adição de um soluto não volátil diminui a pressão de vapor do solvente. Essa variação de pressão é dada por

$Delta p = p^{*}_{0}-p_{0}$

$Delta p = p^{*}_{0}-p^{*}_{0}cdot x_{0}$

$Delta p = p^{*}_{0}cdot (1-x_{0})$ (equação 3)

A soma das frações molares dos componentes é igual a 1

$x_{0}+x_{1} = 1$

$x_{1} = 1-x_{0}$

Portanto, pode-se substituir o termo (1-x₀) na equação 3:

$Delta p = p^{*}_{0}cdot x_{1}$

$frac{Delta p}{p^{*}_{0}} = x_{1}$ (equação 4)

A fração molar do componente 1 é a razão entre a quantidade de matéria de 1 e a quantidade de matéria total:

$x_{1} = frac{n_{1}}{n_{T}}$ (equação 5)

A quantidade de matéria total é a soma das quantidades de matéria dos dois componentes:

$n_{T} = n_{0}+n_{1}$

Como a solução é muito diluída, pode-se fazer a aproximação de que a quantidade de matéria total é igual à quantidade de matéria do solvente

$n_{T} approx n_{0}$

A massa molar é a razão entre a massa e a quantidade de matéria

$M_{i} = frac{m_{i}}{n_{i}}$

E a quantidade de matéria é a razão entre a massa e a massa molar

$n_{i} = frac{m_{i}}{M_{i}}$ (equação 6)

Substituição da equação 6 na equação 5:

$x_{1} = frac{m_{1}}{M_{1}}cdot frac{M_{0}}{m_{0}}$ (equação 7)

A fração mássica é a razão entre a fração do componente 1 e a massa total da mistura:

$W_{1} = frac{m_{1}}{m_{T}}$

Novamente, como a solução é muito diluída, pode-se aproximar a massa total como sendo a massa do solvente:

$m_{T} = m_{0} + m_{1}$

$m_{T} approx m_{0}$

Portanto:

$W_{1} = frac{m_{1}}{m_{0}}$ (equação 8)

Substituição da equação 8 na equação 7:

$x_{1} = W_{1}cdot frac{M_{0}}{M_{1}}$ (equação 9)

Substituição da equação 9 na equação 4:

$frac{Delta p}{p^{*}_{0}} = x_{1} = W_{1} cdot frac{M_{0}}{M_{1}}$ (equação 10)

Substituição da equação 10 na equação 2:

$Delta T=frac{RT^{2}_{0}}{Delta H_{vap}}.frac{Delta p}{p^{*}_{0}}$

$Delta T=frac{RT^{2}_{0}}{Delta H_{vap}}cdot W_{1}cdot frac{M_{0}}{M_{1}}$

Resolve-se a equação para M₁:

$M_{1} = frac{RT_{0}^{2}}{Delta H_{vap}}cdot W_{1}cdot frac{M_{0}}{Delta T}$

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