Questão 26213

IMEPAC 2000

Matemática

(IMPA)

Considere a equação x² – 2x – 7 = 0 cujas raízes denotamos por u e v.

Sabendo que u²⁰¹²+ v²⁰¹² = a e u²⁰¹³ + v²⁰¹³ = b, o valor de u²⁰¹⁴ + v²⁰¹⁴ é igual a:

7b – 2a

2b + 5a

5a – 2b

3a – 7b

2b + 7a

Gabarito:

2b + 7a

Resolução:

$u^{2014}+v^{2014}=u^{2012}cdot u^2+v^{2012}cdot v^2$

Mas, do enunciado, sabemos que u e v são raízes da equação f(x) = x² - 2x - 7, então quando x = u a equação f(u) = 0:

$\u^2-2u-7=0\\ herefore mathbf{u^2=2u+7}$

Analogamente, para v:

$\v^2-2v-7=0\\ herefore mathbf{v^2=2v+7}$

Vamos, agora, substituir os valores de u² e v² na equação inicial:

$u^{2012}cdot mathbf{(2u+7)}+v^{2012}cdot mathbf{(2v+7)}$ , aplicando a distributiva:

$\u^{2012}cdot mathbf{(2u+7)}+v^{2012}cdot mathbf{(2v+7)}\\Rightarrow ;;;;2u^{2013}+7u^{2012}+2v^{2013}+7v^{2012}\\Rightarrow ;;;;2({color{Red} u^{2013}+v^{2013}})+7({color{Green} u^{2012}+v^{2012}})\\Rightarrow ;;;;2cdot ({color{Red} b})+7cdot ({color{Green} a})$

Alternativa (e), portanto.