Questão 32986

INSPER 2014

Matemática

(INSPER - 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei:

$fleft(x ight )=left(senx + cosx ight )^{4}-left(senx - cosx ight )^{4}$

Sabendo que $senleft(2alpha ight )=2senalpha cosalpha$ , o valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a

$frac{5pi}{12}$

$frac{4pi}{9}$

$frac{3pi}{8}$

$frac{5pi}{6}$

$frac{2pi}{3}$

Gabarito:

$frac{5pi}{12}$

Resolução:

Primeiro vamos trabalhar com a expressão $fleft(x ight )=left(senx + cosx ight )^{4}-left(senx - cosx ight )^{4}$ .

Faça $left(senx + cosx ight)^2=p$ e $left(senx - cosx ight )^2 = q$ . Sabemos que $p^2-q^2=left(p+q ight )left(p-q ight )$ e que $left(senx + cosx ight)^2=1+2senxcosx$ e $left(senx - cosx ight)^2=1-2senxcosx$ . Então:

$fleft(a ight )=left(sena + cosa ight )^{4}-left(sena - cosa ight )^{4}=left(1+2senacosa ight )^2-left(1-2senacosa ight )^2=left(2 ight )left(4senacosa ight )Rightarrow fleft(a ight )=2cdot2cdot senleft(2a ight )=4cdot senleft(2a ight )=2Rightarrow senleft(2a ight )=frac{1}{2}$

Como 1/2 vem do seno de 2k $pi$ + 30º e do seno de 2k $pi$ + 150º, para k natural, então:

$senleft(2a ight )=frac{1}{2}=senleft(2kpi+frac{pi}{6} ight )Rightarrow a=kpi+frac{pi}{12}$ ou $senleft(2a ight )=frac{1}{2}=senleft(2kpi+frac{5pi}{6} ight )Rightarrow a=kpi+frac{5pi}{12}$ .

A gente vê no gráfico que o a já é o segundo valor, a partir de 0 para o semi-eixo positivo, de x para o qual f(x) = 2, não é mesmo? O primeiro valor seria para $k=0Rightarrow a=kpi+frac{pi}{12}=frac{pi}{12}$ e o segundo valor seria para $k=0Rightarrow a=kpi+frac{5pi}{12}=frac{5pi}{12}$ .

Portanto, $a=frac{5pi}{12}$ . A alternativa correta é a Letra A.

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