Questão 76754

INSPER 2014

Matemática

(Insper 2014) Analisando o comportamento das vendas de determinado produto em diferentes cidades, durante um ano, um economista estimou que a quantidade vendida desse produto em um mês $(Q)$ , em milhares de unidades, depende do seu preço $(P)$ , em reais, de acordo com a relação

$Q=1+4cdot (0,8)^{2P}$ .

No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de relação, escrever o preço $P$ em função da quantidade $Q$ . Dessa forma, isolando a variável $P$ na relação fornecida acima, o economista obteve

$P=log_{0,8}sqrt{frac{Q-1}{4}}$

$P=log_{0,8}left (frac{Q-1}{8} ight )$

$P=0,5cdot sqrt[0,8]{frac{Q-1}{4}}$

$P=sqrt[0,8]{frac{Q-1}{4}}$

$P=0,5cdot left (frac{Q}{4}-1 ight )$

Gabarito:

$P=log_{0,8}sqrt{frac{Q-1}{4}}$

Resolução:

Desenvolvendo a expressão, temos:

$Q = 1 + 4cdot(0,8)^{ 2P} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow Q - 1 = 4cdot(0,8)^{2P} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{Q - 1}{4} = (0,8)^{2P}$

Colocando os dois lados da equação em logaritmo de base 0,8, teremos:

$log_{0,8}left (frac{Q - 1}{4} ight ) = log_{0,8}(0,8)^{2P} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow log_{0,8}left (frac{Q - 1}{4} ight ) = 2P Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{1}{2}log_{0,8}left (frac{Q - 1}{4} ight ) = P Leftrightarrow$

$Leftrightarrow P = log_{0,8}left (frac{Q - 1}{4} ight )^{frac{1}{2}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow P = log_{0,8}{sqrt{frac{Q - 1}{4}}}$

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