Questão 68108

INSPER 2016

Matemática

(INSPER - 2016) Texto para a proxima questão. Sejam x e y dois números reais positivos. Definimos as seguintes médias:

• média aritmética, denotada por MA(x,y), calculada como a metade da soma entre x e y;
• média geométrica, denotada por MG(x,y), calculada como a raiz quadrada do produto entre x e y;
• média harmônica, denotada por MH(x), calculada como o inverso da média aritmética entre os inversos de x e y;

Sejam a e b dois números reais e positivos tais que MH(a,b) = A. O valor de a em função de b e a condição que se deve impor sobre o valor de b para que isso aconteça são, respectivamente,

$frac{Ab}{2b-A}$ e $b>frac{A}{2}$

$frac{Ab}{2b-A}$ e $b<frac{A}{2}$

$frac{A}{2}$ e $b>frac{1}{A}$

$frac{A}{2}$ e $b<frac{1}{A}$

$a=2A-b$ e $b>0$

Gabarito:

$frac{Ab}{2b-A}$ e $b>frac{A}{2}$

Resolução:

Temos que a média harmônica entre a e b deve valer A:

$frac{frac{1}{a}+frac{1}{b}}{2}=frac{1}{A}$

$frac{frac{b+a}{ab}}{2}=frac{1}{A}$

${frac{b+a}{2ab}}=frac{1}{A}$

Vamos isolar em função de $a$

$A(b+a)=2ab$

$Ab+Aa-2ab=0$

$Ab +a(A-2b)=0$

$-a(A-2b)=Ab$

$-a=frac{Ab}{(A-2b)}$

$a=frac{Ab}{(-1)(A-2b)}$

$a=frac{Ab}{2b-A}$

Precisamos agora definir a condição de $b$ . Como é dado no enunciado que $a$ e $b$ são números positivos, a média harmônica $A$ também é positiva. Logo, temos que:

$a$ é positivo

$Ab$ é positivo

Resta $2b-A$ ser positivo.

$2b-A > 0$

$2b > A$

$b > frac{A}{2}$

Alternativa A.

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