Questão 6960

INSPER 2016

Matemática

(Insper 2016) Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda X em relação a uma moeda Y foi dada pela seguinte função:

$f(t)=1,625+1,25cdot cos(frac{pi(t-3)}{12})$

sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. Assim, t = 9 indica a taxa no início de outubro, que era de 1,625 unidades da moeda X para uma unidade da moeda Y (note que esse valor da taxa indica que no instante considerado a moeda X era “menos valiosa” que a moeda Y).

Houve um intervalo de tempo ao longo do ano considerado em que a moeda X deixou de ser “menos valiosa” que a moeda Y. Esse intervalo teve duração de

A

5 meses.

B

4 meses.

C

3 meses.

D

2 meses.

E

1 mês.

Gabarito:

1 mês.

Resolução:

1) Temos que a moeda X ficou “menos valiosa” que a moeda Y, quando $f(x) leq 1.$

2) Com isso temos que:

$1,625 + 1,25 cdot cos (pi cdot frac{(t-3)}{12})leq 1$

3) Desenvolvendo:

$1.625cdot :1000+1.25cos left(pi frac{t-3}{12} ight)cdot :1000le :1cdot :1000$

$1625+1250cos left(pi frac{t-3}{12} ight)le :1000$

$1250cos left(pi frac{t-3}{12} ight)le :-625$

$frac{1250cos left(pi frac{t-3}{12} ight)}{1250}le frac{-625}{1250}$

4) Simplificando:

$cos left(pi frac{t-3}{12} ight)le :-frac{1}{2}$

5) Desenvolvendo:

$arccos left(-frac{1}{2} ight)le :pi frac{t-3}{12}le :2pi -arccos left(-frac{1}{2} ight)$

6)

$arccos left(-frac{1}{2} ight)le :pi frac{t-3}{12}quad mathrm{e}quad :pi frac{t-3}{12}le :2pi -arccos left(-frac{1}{2} ight)$

Logo temos que:

6.1) $frac{pi left(t-3 ight)}{12}ge frac{2pi }{3}$

$frac{pi left(t-3 ight)}{12}cdot :12ge frac{2pi }{3}cdot :12$

$pi left(t-3 ight)ge :8pi$

$pi tge :11pi$

$tge :11$

6.2) $frac{pi left(t-3 ight)}{12}cdot :12le :2pi 12-frac{2pi }{3}cdot :12$

$pi left(t-3 ight)le :24pi -8pi$

$pi t-3pi le :16pi$

$pi tle :19pi$

$tle :19$

6.3) $11le :tle :19$

7) Temos que $mathrm{A:periodicidade:base:de:}cos left(x ight):mathrm{=}:2pi$

$mathrm{Periodicidade:de:}acos left(bxpm :c ight)pm :d=frac{cos mathrm{periodicidade:base}}{|b|}$

$frac{2pi }{left|frac{pi }{12} ight|} = 24$

8) Logo,

$11+24nle :tle :19+24n$

9) Porém, estamos procurando apenas intervalos referentes a t<12, que corresponde ao período de 1 ano pedido. Logo,

$11le :t< :12$

10) No intervalo [0; 11] (t= 0 representa início de janeiro e t = 11 início de dezembro) o único valor possível para t é 11.

11) Portanto X deixou de ser ‘menos valiosa” que a moeda Y em dezembro desse ano, o que corresponde a apenas 1 mês.

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