Questão 76753

INSPER 2016

Matemática

(Insper 2016) A figura mostra os gráficos das funções $f$ e $g$ , que são simétricos em relação à reta de equação $y=x$

Se a função $f$ é dada pela lei $f(x)=1+3^{1-sqrt[3]{x}}$ , então a lei da função $g$ é

$g(x)=[1- log_{3}( x-1)]^3$

$g(x)=[1+log_{3}( x-1)]^3$

$g(x)=1- log_{3}( x-1)^3$

$g(x)=1+log_{3}( x-1)^3$

$g(x)=1-log_{3}( x^3-1)$

Gabarito:

$g(x)=[1- log_{3}( x-1)]^3$

Resolução:

Podemos perceber que os gáficos f e g são simétricos em relação a reta da equação y = x, então f e g são inversas.

$fog (x) = x$

$f (g(x)) = 1 + 3^{1-sqrt[3]{g(x)}}$

$x = 1 + 3^{1-sqrt[3]{g(x)}}$

$x - 1 = 3^{1- {sqrt[3]{g(x)}}}$

Passando log de 3 nos dois lados, temos:

$log_{3}(x-1) = 1 - sqrt[3]{g(x)}$

$sqrt[3]{g(x)} = 1 - log_{3}(x-1)$

$g(x) = (1 - log_{3}(x-1))^3$

Gabarito: Letra A

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